Matemática discreta Ejemplos

$x^{2} - 2 x - 14 + y^{2} - 2 y = 0$

Paso 1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 2$ y $c = x^{2} - 2 x - 14$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} - 2 x - 14))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 2 x - 14)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (x^{2} - 2 x - 14)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 14}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.4

Simplifica.

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Paso 3.1.4.1

Multiplica $- 2$ por $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} + 8 x - 4 \cdot - 14}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.4.2

Multiplica $- 4$ por $- 14$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} + 8 x + 56}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.5

Suma $4$ y $56$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 4 x^{2} + 8 x + 60}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6

Reescribe $- 4 x^{2} + 8 x + 60$ en forma factorizada.

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Paso 3.1.6.1

Factoriza $4$ de $- 4 x^{2} + 8 x + 60$ .

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Paso 3.1.6.1.1

Factoriza $4$ de $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 8 x + 60}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6.1.2

Factoriza $4$ de $8 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (2 x) + 60}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6.1.3

Factoriza $4$ de $60$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (2 x) + 4 (15)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6.1.4

Factoriza $4$ de $4 (- x^{2}) + 4 (2 x)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 2 x) + 4 (15)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6.1.5

Factoriza $4$ de $4 (- x^{2} + 2 x) + 4 (15)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 2 x + 15)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.1.6.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 15 = - 15$ y cuya suma es $b = 2$ .

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Paso 3.1.6.2.1.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 2 (x) + 15)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6.2.1.2

Reescribe $2$ como $- 3$ más $5$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (- 3 + 5) x + 15)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 3 x + 5 x + 15)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.1.6.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} - 3 x) + 5 x + 15)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (x (- x - 3) - 5 (- x - 3))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x - 3$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 ((- x - 3) (x - 5))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x - 3) (x - 5)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.7

Reescribe $4 (- x - 3) (x - 5)$ como $2^{2} ((- x - 3) (x - 5))$ .

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Paso 3.1.7.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- x - 3) (x - 5)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.7.2

Agrega paréntesis.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} ((- x - 3) (x - 5))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x - 3) (x - 5)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x - 3) (x - 5)}}{2}$

Paso 3.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x - 3) (x - 5)}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{(- x - 3) (x - 5)}$

Paso 4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = 1 + \sqrt{(- x - 3) (x - 5)}$

$y = 1 - \sqrt{(- x - 3) (x - 5)}$