Matemática discreta Ejemplos

$x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y = b$

Paso 1

Resta $b$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y - b = 0$

Paso 2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 2$ y $c = x^{2} - 4 x - b$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} - 4 x - b))}}{2 \cdot 1}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 4 x - b)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (x^{2} - 4 x - b)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 4 (- 4 x) - 4 (- b)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.4

Simplifica.

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Paso 4.1.4.1

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} + 16 x - 4 (- b)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} + 16 x + 4 b}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.5

Factoriza $4$ de $4 - 4 x^{2} + 16 x + 4 b$ .

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Paso 4.1.5.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 - 4 x^{2} + 16 x + 4 b}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.5.2

Factoriza $4$ de $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 (- x^{2}) + 16 x + 4 b}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.5.3

Factoriza $4$ de $16 x$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 (- x^{2}) + 4 (4 x) + 4 b}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.5.4

Factoriza $4$ de $4 \cdot 1 + 4 (- x^{2})$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot (1 - x^{2}) + 4 (4 x) + 4 b}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.5.5

Factoriza $4$ de $4 \cdot (1 - x^{2}) + 4 (4 x)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot (1 - x^{2} + 4 x) + 4 b}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.5.6

Factoriza $4$ de $4 \cdot (1 - x^{2} + 4 x) + 4 b$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1 - x^{2} + 4 x + b)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.6

Reescribe $4 (1 - x^{2} + 4 x + b)$ como $2^{2} (1^{2} - x^{2} + 4 x + b)$ .

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Paso 4.1.6.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1 - x^{2} + 4 x + b)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.6.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} - x^{2} + 4 x + b)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.7

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1^{2} - x^{2} + 4 x + b}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.8

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 - x^{2} + 4 x + b}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 - x^{2} + 4 x + b}}{2}$

Paso 4.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 - x^{2} + 4 x + b}}{2}$ .

$y = - 1 \pm \sqrt{1 - x^{2} + 4 x + b}$

Paso 5

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = - 1 + \sqrt{1 - x^{2} + 4 x + b}$

$y = - 1 - \sqrt{1 - x^{2} + 4 x + b}$