Matemática discreta Ejemplos

$\sqrt{5 y^{2} - 8 y + 15} = 2 y$

Paso 1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{5 y^{2} - 8 y + 15}}^{2} = {(2 y)}^{2}$

Paso 2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5 y^{2} - 8 y + 15}$ como ${(5 y^{2} - 8 y + 15)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(5 y^{2} - 8 y + 15)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 y)}^{2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica ${({(5 y^{2} - 8 y + 15)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(5 y^{2} - 8 y + 15)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(5 y^{2} - 8 y + 15)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 y)}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(5 y^{2} - 8 y + 15)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 y)}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(5 y^{2} - 8 y + 15)}^{1} = {(2 y)}^{2}$

Paso 2.2.1.2

Simplifica.

$5 y^{2} - 8 y + 15 = {(2 y)}^{2}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica ${(2 y)}^{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Aplica la regla del producto a $2 y$ .

$5 y^{2} - 8 y + 15 = 2^{2} y^{2}$

Paso 2.3.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$5 y^{2} - 8 y + 15 = 4 y^{2}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que contengan $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1.1

Resta $4 y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$5 y^{2} - 8 y + 15 - 4 y^{2} = 0$

Paso 3.1.2

Resta $4 y^{2}$ de $5 y^{2}$ .

$y^{2} - 8 y + 15 = 0$

Paso 3.2

Factoriza $y^{2} - 8 y + 15$ con el método AC.

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Paso 3.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $15$ y cuya suma es $- 8$ .

$- 5, - 3$

Paso 3.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(y - 5) (y - 3) = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$y - 5 = 0$

$y - 3 = 0$

Paso 3.4

Establece $y - 5$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 3.4.1

Establece $y - 5$ igual a $0$ .

$y - 5 = 0$

Paso 3.4.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 5$

Paso 3.5

Establece $y - 3$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 3.5.1

Establece $y - 3$ igual a $0$ .

$y - 3 = 0$

Paso 3.5.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 3$

Paso 3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(y - 5) (y - 3) = 0$ verdadera.

$y = 5, 3$