Matemática discreta Ejemplos

$\sqrt{4 y + 20} - v y - 4 = 6$

Paso 1

Mueve todos los términos que no contengan $\sqrt{4 y + 20}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1

Suma $v y$ a ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{4 y + 20} - 4 = 6 + v y$

Paso 1.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{4 y + 20} = 6 + v y + 4$

Paso 1.3

Suma $6$ y $4$ .

$\sqrt{4 y + 20} = v y + 10$

Paso 2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{4 y + 20}}^{2} = {(v y + 10)}^{2}$

Paso 3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{4 y + 20}$ como ${(4 y + 20)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 y + 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(v y + 10)}^{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica ${({(4 y + 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(4 y + 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 y + 20)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(v y + 10)}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(4 y + 20)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(v y + 10)}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(4 y + 20)}^{1} = {(v y + 10)}^{2}$

Paso 3.2.1.2

Simplifica.

$4 y + 20 = {(v y + 10)}^{2}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica ${(v y + 10)}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe ${(v y + 10)}^{2}$ como $(v y + 10) (v y + 10)$ .

$4 y + 20 = (v y + 10) (v y + 10)$

Paso 3.3.1.2

Expande $(v y + 10) (v y + 10)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 y + 20 = v y (v y + 10) + 10 (v y + 10)$

Paso 3.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 y + 20 = v y (v y) + v y \cdot 10 + 10 (v y + 10)$

Paso 3.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 y + 20 = v y (v y) + v y \cdot 10 + 10 (v y) + 10 \cdot 10$

Paso 3.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.3.1.1

Multiplica $v$ por $v$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1.3.1.1.1

Mueve $v$ .

$4 y + 20 = v \cdot v y \cdot y + v y \cdot 10 + 10 (v y) + 10 \cdot 10$

Paso 3.3.1.3.1.1.2

Multiplica $v$ por $v$ .

$4 y + 20 = v^{2} y \cdot y + v y \cdot 10 + 10 (v y) + 10 \cdot 10$

Paso 3.3.1.3.1.2

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1.3.1.2.1

Mueve $y$ .

$4 y + 20 = v^{2} (y \cdot y) + v y \cdot 10 + 10 (v y) + 10 \cdot 10$

Paso 3.3.1.3.1.2.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$4 y + 20 = v^{2} y^{2} + v y \cdot 10 + 10 (v y) + 10 \cdot 10$

Paso 3.3.1.3.1.3

Mueve $10$ a la izquierda de $v y$ .

$4 y + 20 = v^{2} y^{2} + 10 \cdot (v y) + 10 (v y) + 10 \cdot 10$

Paso 3.3.1.3.1.4

Multiplica $10$ por $10$ .

$4 y + 20 = v^{2} y^{2} + 10 v y + 10 v y + 100$

Paso 3.3.1.3.2

Suma $10 v y$ y $10 v y$ .

$4 y + 20 = v^{2} y^{2} + 20 v y + 100$

Paso 4

Resuelve $y$

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Paso 4.1

Como $y$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$v^{2} y^{2} + 20 v y + 100 = 4 y + 20$

Paso 4.2

Resta $4 y$ de ambos lados de la ecuación.

$v^{2} y^{2} + 20 v y + 100 - 4 y = 20$

Paso 4.3

Mueve todos los términos al lado izquierdo de la ecuación y simplifica.

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Paso 4.3.1

Resta $20$ de ambos lados de la ecuación.

$v^{2} y^{2} + 20 v y + 100 - 4 y - 20 = 0$

Paso 4.3.2

Resta $20$ de $100$ .

$v^{2} y^{2} + 20 v y - 4 y + 80 = 0$

Paso 4.4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.5

Sustituye los valores $a = v^{2}$ , $b = 20 v - 4$ y $c = 80$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{- (20 v - 4) \pm \sqrt{{(20 v - 4)}^{2} - 4 \cdot (v^{2} \cdot 80)}}{2 v^{2}}$

Paso 4.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- (20 v) + 4 \pm \sqrt{{(20 v - 4)}^{2} - 4 \cdot v^{2} \cdot 80}}{2 v^{2}}$

Paso 4.6.2

Multiplica $20$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{{(20 v - 4)}^{2} - 4 \cdot v^{2} \cdot 80}}{2 v^{2}}$

Paso 4.6.3

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{{(20 v - 4)}^{2} - 4 \cdot v^{2} \cdot 80}}{2 v^{2}}$

Paso 4.6.4

Agrega paréntesis.

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{{(20 v - 4)}^{2} - 4 \cdot (v^{2} \cdot 80)}}{2 v^{2}}$

Paso 4.6.5

Sea $u = v^{2} \cdot 80$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $v^{2} \cdot 80$ .

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Paso 4.6.5.1

Reescribe ${(20 v - 4)}^{2}$ como $(20 v - 4) (20 v - 4)$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{(20 v - 4) (20 v - 4) - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Paso 4.6.5.2

Expande $(20 v - 4) (20 v - 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.6.5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{20 v (20 v - 4) - 4 (20 v - 4) - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Paso 4.6.5.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{20 v (20 v) + 20 v \cdot - 4 - 4 (20 v - 4) - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Paso 4.6.5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{20 v (20 v) + 20 v \cdot - 4 - 4 (20 v) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Paso 4.6.5.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.6.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.6.5.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{20 \cdot (20 v \cdot v) + 20 v \cdot - 4 - 4 (20 v) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Paso 4.6.5.3.1.2

Multiplica $v$ por $v$ sumando los exponentes.

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Paso 4.6.5.3.1.2.1

Mueve $v$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{20 \cdot (20 (v \cdot v)) + 20 v \cdot - 4 - 4 (20 v) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Paso 4.6.5.3.1.2.2

Multiplica $v$ por $v$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{20 \cdot (20 v^{2}) + 20 v \cdot - 4 - 4 (20 v) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Paso 4.6.5.3.1.3

Multiplica $20$ por $20$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{400 v^{2} + 20 v \cdot - 4 - 4 (20 v) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Paso 4.6.5.3.1.4

Multiplica $- 4$ por $20$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{400 v^{2} - 80 v - 4 (20 v) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Paso 4.6.5.3.1.5

Multiplica $20$ por $- 4$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{400 v^{2} - 80 v - 80 v - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Paso 4.6.5.3.1.6

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{400 v^{2} - 80 v - 80 v + 16 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Paso 4.6.5.3.2

Resta $80 v$ de $- 80 v$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{400 v^{2} - 160 v + 16 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{400 v^{2} - 160 v + 16 - 4 u}}{2 v^{2}}$

Paso 4.6.6

Factoriza $4$ de $400 v^{2} - 160 v + 16 - 4 u$ .

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Paso 4.6.6.1

Factoriza $4$ de $400 v^{2}$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2}) - 160 v + 16 - 4 u}}{2 v^{2}}$

Paso 4.6.6.2

Factoriza $4$ de $- 160 v$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2}) + 4 (- 40 v) + 16 - 4 u}}{2 v^{2}}$

Paso 4.6.6.3

Factoriza $4$ de $16$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2}) + 4 (- 40 v) + 4 (4) - 4 u}}{2 v^{2}}$

Paso 4.6.6.4

Factoriza $4$ de $- 4 u$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2}) + 4 (- 40 v) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 v^{2}}$

Paso 4.6.6.5

Factoriza $4$ de $4 (100 v^{2}) + 4 (- 40 v)$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2} - 40 v) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 v^{2}}$

Paso 4.6.6.6

Factoriza $4$ de $4 (100 v^{2} - 40 v) + 4 (4)$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2} - 40 v + 4) + 4 (- u)}}{2 v^{2}}$

Paso 4.6.6.7

Factoriza $4$ de $4 (100 v^{2} - 40 v + 4) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2} - 40 v + 4 - u)}}{2 v^{2}}$

Paso 4.6.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $v^{2} \cdot 80$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2} - 40 v + 4 - (v^{2} \cdot 80))}}{2 v^{2}}$

Paso 4.6.8

Simplifica.

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Paso 4.6.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.6.8.1.1

Mueve $80$ a la izquierda de $v^{2}$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2} - 40 v + 4 - (80 \cdot v^{2}))}}{2 v^{2}}$

Paso 4.6.8.1.2

Multiplica $80$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2} - 40 v + 4 - 80 v^{2})}}{2 v^{2}}$

Paso 4.6.8.2

Resta $80 v^{2}$ de $100 v^{2}$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (20 v^{2} - 40 v + 4)}}{2 v^{2}}$

Paso 4.6.9

Factoriza $4$ de $20 v^{2} - 40 v + 4$ .

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Paso 4.6.9.1

Factoriza $4$ de $20 v^{2}$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (4 (5 v^{2}) - 40 v + 4)}}{2 v^{2}}$

Paso 4.6.9.2

Factoriza $4$ de $- 40 v$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (4 (5 v^{2}) + 4 (- 10 v) + 4)}}{2 v^{2}}$

Paso 4.6.9.3

Factoriza $4$ de $4$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (4 (5 v^{2}) + 4 (- 10 v) + 4 (1))}}{2 v^{2}}$

Paso 4.6.9.4

Factoriza $4$ de $4 (5 v^{2}) + 4 (- 10 v)$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (4 (5 v^{2} - 10 v) + 4 (1))}}{2 v^{2}}$

Paso 4.6.9.5

Factoriza $4$ de $4 (5 v^{2} - 10 v) + 4 (1)$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (4 (5 v^{2} - 10 v + 1))}}{2 v^{2}}$

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 \cdot (4 (5 v^{2} - 10 v + 1))}}{2 v^{2}}$

Paso 4.6.10

Multiplica $4$ por $4$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{16 (5 v^{2} - 10 v + 1)}}{2 v^{2}}$

Paso 4.6.11

Reescribe $16 (5 v^{2} - 10 v + 1)$ como ${(2^{2})}^{2} (5 v^{2} - 10 v + 1)$ .

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Paso 4.6.11.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4^{2} (5 v^{2} - 10 v + 1)}}{2 v^{2}}$

Paso 4.6.11.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (5 v^{2} - 10 v + 1)}}{2 v^{2}}$

Paso 4.6.12

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm 2^{2} \sqrt{5 v^{2} - 10 v + 1}}{2 v^{2}}$

Paso 4.6.13

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm 4 \sqrt{5 v^{2} - 10 v + 1}}{2 v^{2}}$

Paso 4.7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = - \frac{2 (5 v - 1 - \sqrt{5 v^{2} - 10 v + 1})}{v^{2}}$

$y = - \frac{2 (5 v - 1 + \sqrt{5 v^{2} - 10 v + 1})}{v^{2}}$

$y = - \frac{2 (5 v - 1 - \sqrt{5 v^{2} - 10 v + 1})}{v^{2}}$

$y = - \frac{2 (5 v - 1 + \sqrt{5 v^{2} - 10 v + 1})}{v^{2}}$