Matemática discreta Ejemplos

$\sqrt{2 y} + 6 + 7 = y + 6$

Paso 1

Resuelve $\sqrt{2 y}$

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Paso 1.1

Suma $6$ y $7$ .

$\sqrt{2 y} + 13 = y + 6$

Paso 1.2

Mueve todos los términos que no contengan $\sqrt{2 y}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.2.1

Resta $13$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{2 y} = y + 6 - 13$

Paso 1.2.2

Resta $13$ de $6$ .

$\sqrt{2 y} = y - 7$

Paso 2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{2 y}}^{2} = {(y - 7)}^{2}$

Paso 3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 y}$ como ${(2 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(y - 7)}^{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica ${({(2 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(2 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y - 7)}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(2 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y - 7)}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(2 y)}^{1} = {(y - 7)}^{2}$

Paso 3.2.1.2

Simplifica.

$2 y = {(y - 7)}^{2}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica ${(y - 7)}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe ${(y - 7)}^{2}$ como $(y - 7) (y - 7)$ .

$2 y = (y - 7) (y - 7)$

Paso 3.3.1.2

Expande $(y - 7) (y - 7)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y = y (y - 7) - 7 (y - 7)$

Paso 3.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y = y \cdot y + y \cdot - 7 - 7 (y - 7)$

Paso 3.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y = y \cdot y + y \cdot - 7 - 7 y - 7 \cdot - 7$

Paso 3.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.3.1.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$2 y = y^{2} + y \cdot - 7 - 7 y - 7 \cdot - 7$

Paso 3.3.1.3.1.2

Mueve $- 7$ a la izquierda de $y$ .

$2 y = y^{2} - 7 \cdot y - 7 y - 7 \cdot - 7$

Paso 3.3.1.3.1.3

Multiplica $- 7$ por $- 7$ .

$2 y = y^{2} - 7 y - 7 y + 49$

Paso 3.3.1.3.2

Resta $7 y$ de $- 7 y$ .

$2 y = y^{2} - 14 y + 49$

Paso 4

Resuelve $y$

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Paso 4.1

Como $y$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$y^{2} - 14 y + 49 = 2 y$

Paso 4.2

Mueve todos los términos que contengan $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Resta $2 y$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} - 14 y + 49 - 2 y = 0$

Paso 4.2.2

Resta $2 y$ de $- 14 y$ .

$y^{2} - 16 y + 49 = 0$

Paso 4.3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.4

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 16$ y $c = 49$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 49)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5

Simplifica.

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Paso 4.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.1.1

Eleva $- 16$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 49$ .

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Paso 4.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $49$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 196}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.3

Resta $196$ de $256$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.4

Reescribe $60$ como $2^{2} \cdot 15$ .

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Paso 4.5.1.4.1

Factoriza $4$ de $60$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{4 (15)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{16 \pm 2 \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{16 \pm 2 \sqrt{15}}{2}$

Paso 4.5.3

Simplifica $\frac{16 \pm 2 \sqrt{15}}{2}$ .

$y = 8 \pm \sqrt{15}$

Paso 4.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = 8 + \sqrt{15}, 8 - \sqrt{15}$

Paso 5

Excluye las soluciones que no hagan que $\sqrt{2 y} + 6 + 7 = y + 6$ sea verdadera.

$y = 8 + \sqrt{15}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$y = 8 + \sqrt{15}$

Forma decimal:

$y = 11.87298334 \dots$