Matemática discreta Ejemplos

$\frac{4}{y + 2} - \frac{2}{y - 4} = \frac{6}{y + 6}$

Paso 1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$y + 2, y - 4, y + 6$

Paso 1.2

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 1.3

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 1.4

El MCM de $1, 1, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$1$

Paso 1.5

El factor para $y + 2$ es $y + 2$ en sí mismo.

$(y + 2) = y + 2$

$(y + 2)$ ocurre $1$ vez.

Paso 1.6

El factor para $y - 4$ es $y - 4$ en sí mismo.

$(y - 4) = y - 4$

$(y - 4)$ ocurre $1$ vez.

Paso 1.7

El factor para $y + 6$ es $y + 6$ en sí mismo.

$(y + 6) = y + 6$

$(y + 6)$ ocurre $1$ vez.

Paso 1.8

El MCM de $y + 2, y - 4, y + 6$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$(y + 2) (y - 4) (y + 6)$

Paso 2

Multiplica cada término en $\frac{4}{y + 2} - \frac{2}{y - 4} = \frac{6}{y + 6}$ por $(y + 2) (y - 4) (y + 6)$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.1

Multiplica cada término en $\frac{4}{y + 2} - \frac{2}{y - 4} = \frac{6}{y + 6}$ por $(y + 2) (y - 4) (y + 6)$ .

$\frac{4}{y + 2} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común de $y + 2$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Factoriza $y + 2$ de $(y + 2) (y - 4) (y + 6)$ .

$\frac{4}{y + 2} ((y + 2) ((y - 4) (y + 6))) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{4}{y + 2} ((y + 2) ((y - 4) (y + 6))) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Paso 2.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$4 ((y - 4) (y + 6)) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Paso 2.2.1.2

Expande $(y - 4) (y + 6)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (y (y + 6) - 4 (y + 6)) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Paso 2.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (y \cdot y + y \cdot 6 - 4 (y + 6)) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Paso 2.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (y \cdot y + y \cdot 6 - 4 y - 4 \cdot 6) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Paso 2.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.3.1.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$4 (y^{2} + y \cdot 6 - 4 y - 4 \cdot 6) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Paso 2.2.1.3.1.2

Mueve $6$ a la izquierda de $y$ .

$4 (y^{2} + 6 \cdot y - 4 y - 4 \cdot 6) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Paso 2.2.1.3.1.3

Multiplica $- 4$ por $6$ .

$4 (y^{2} + 6 y - 4 y - 24) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Paso 2.2.1.3.2

Resta $4 y$ de $6 y$ .

$4 (y^{2} + 2 y - 24) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Paso 2.2.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$4 y^{2} + 4 (2 y) + 4 \cdot - 24 - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Paso 2.2.1.5

Simplifica.

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Paso 2.2.1.5.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$4 y^{2} + 8 y + 4 \cdot - 24 - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Paso 2.2.1.5.2

Multiplica $4$ por $- 24$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Paso 2.2.1.6

Cancela el factor común de $y - 4$ .

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Paso 2.2.1.6.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{y - 4}$ al numerador.

$4 y^{2} + 8 y - 96 + \frac{- 2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Paso 2.2.1.6.2

Factoriza $y - 4$ de $(y + 2) (y - 4) (y + 6)$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 + \frac{- 2}{y - 4} ((y - 4) ((y + 2) (y + 6))) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Paso 2.2.1.6.3

Cancela el factor común.

$4 y^{2} + 8 y - 96 + \frac{- 2}{y - 4} ((y - 4) ((y + 2) (y + 6))) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Paso 2.2.1.6.4

Reescribe la expresión.

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 ((y + 2) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Paso 2.2.1.7

Expande $(y + 2) (y + 6)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.1.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 (y (y + 6) + 2 (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Paso 2.2.1.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 (y \cdot y + y \cdot 6 + 2 (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Paso 2.2.1.7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 (y \cdot y + y \cdot 6 + 2 y + 2 \cdot 6) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Paso 2.2.1.8

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.2.1.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.8.1.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 (y^{2} + y \cdot 6 + 2 y + 2 \cdot 6) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Paso 2.2.1.8.1.2

Mueve $6$ a la izquierda de $y$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 (y^{2} + 6 \cdot y + 2 y + 2 \cdot 6) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Paso 2.2.1.8.1.3

Multiplica $2$ por $6$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 (y^{2} + 6 y + 2 y + 12) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Paso 2.2.1.8.2

Suma $6 y$ y $2 y$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 (y^{2} + 8 y + 12) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Paso 2.2.1.9

Aplica la propiedad distributiva.

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 y^{2} - 2 (8 y) - 2 \cdot 12 = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Paso 2.2.1.10

Simplifica.

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Paso 2.2.1.10.1

Multiplica $8$ por $- 2$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 y^{2} - 16 y - 2 \cdot 12 = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Paso 2.2.1.10.2

Multiplica $- 2$ por $12$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 y^{2} - 16 y - 24 = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Paso 2.2.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.2.2.1

Resta $2 y^{2}$ de $4 y^{2}$ .

$2 y^{2} + 8 y - 96 - 16 y - 24 = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Paso 2.2.2.2

Resta $16 y$ de $8 y$ .

$2 y^{2} - 8 y - 96 - 24 = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Paso 2.2.2.3

Resta $24$ de $- 96$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Cancela el factor común de $y + 6$ .

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Paso 2.3.1.1

Factoriza $y + 6$ de $(y + 2) (y - 4) (y + 6)$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = \frac{6}{y + 6} ((y + 6) ((y + 2) (y - 4)))$

Paso 2.3.1.2

Cancela el factor común.

$2 y^{2} - 8 y - 120 = \frac{6}{y + 6} ((y + 6) ((y + 2) (y - 4)))$

Paso 2.3.1.3

Reescribe la expresión.

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 ((y + 2) (y - 4))$

Paso 2.3.2

Expande $(y + 2) (y - 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 (y (y - 4) + 2 (y - 4))$

Paso 2.3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 (y \cdot y + y \cdot - 4 + 2 (y - 4))$

Paso 2.3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 (y \cdot y + y \cdot - 4 + 2 y + 2 \cdot - 4)$

Paso 2.3.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.3.1.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 (y^{2} + y \cdot - 4 + 2 y + 2 \cdot - 4)$

Paso 2.3.3.1.2

Mueve $- 4$ a la izquierda de $y$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 (y^{2} - 4 \cdot y + 2 y + 2 \cdot - 4)$

Paso 2.3.3.1.3

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 (y^{2} - 4 y + 2 y - 8)$

Paso 2.3.3.2

Suma $- 4 y$ y $2 y$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 (y^{2} - 2 y - 8)$

Paso 2.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 y^{2} + 6 (- 2 y) + 6 \cdot - 8$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Multiplica $- 2$ por $6$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 y^{2} - 12 y + 6 \cdot - 8$

Paso 2.3.5.2

Multiplica $6$ por $- 8$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 y^{2} - 12 y - 48$

Paso 3

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que contengan $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1.1

Resta $6 y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y^{2} - 8 y - 120 - 6 y^{2} = - 12 y - 48$

Paso 3.1.2

Suma $12 y$ a ambos lados de la ecuación.

$2 y^{2} - 8 y - 120 - 6 y^{2} + 12 y = - 48$

Paso 3.1.3

Resta $6 y^{2}$ de $2 y^{2}$ .

$- 4 y^{2} - 8 y - 120 + 12 y = - 48$

Paso 3.1.4

Suma $- 8 y$ y $12 y$ .

$- 4 y^{2} + 4 y - 120 = - 48$

Paso 3.2

Suma $48$ a ambos lados de la ecuación.

$- 4 y^{2} + 4 y - 120 + 48 = 0$

Paso 3.3

Suma $- 120$ y $48$ .

$- 4 y^{2} + 4 y - 72 = 0$

Paso 3.4

Factoriza $- 4$ de $- 4 y^{2} + 4 y - 72$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza $- 4$ de $- 4 y^{2}$ .

$- 4 y^{2} + 4 y - 72 = 0$

Paso 3.4.2

Factoriza $- 4$ de $4 y$ .

$- 4 y^{2} - 4 (- y) - 72 = 0$

Paso 3.4.3

Factoriza $- 4$ de $- 72$ .

$- 4 y^{2} - 4 (- y) - 4 \cdot 18 = 0$

Paso 3.4.4

Factoriza $- 4$ de $- 4 (y^{2}) - 4 (- y)$ .

$- 4 (y^{2} - y) - 4 \cdot 18 = 0$

Paso 3.4.5

Factoriza $- 4$ de $- 4 (y^{2} - y) - 4 (18)$ .

$- 4 (y^{2} - y + 18) = 0$

Paso 3.5

Divide cada término en $- 4 (y^{2} - y + 18) = 0$ por $- 4$ y simplifica.

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Paso 3.5.1

Divide cada término en $- 4 (y^{2} - y + 18) = 0$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 (y^{2} - y + 18)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Paso 3.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

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Paso 3.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 (y^{2} - y + 18)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Paso 3.5.2.1.2

Divide $y^{2} - y + 18$ por $1$ .

$y^{2} - y + 18 = \frac{0}{- 4}$

Paso 3.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.3.1

Divide $0$ por $- 4$ .

$y^{2} - y + 18 = 0$

Paso 3.6

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.7

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 1$ y $c = 18$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 18)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.8

Simplifica.

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Paso 3.8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.8.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.8.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 18$ .

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Paso 3.8.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.8.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $18$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 72}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.8.1.3

Resta $72$ de $1$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 71}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.8.1.4

Reescribe $- 71$ como $- 1 (71)$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 71}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.8.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (71)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{71}$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{71}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.8.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$y = \frac{1 \pm i \sqrt{71}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.8.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{1 \pm i \sqrt{71}}{2}$

Paso 3.9

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = \frac{1 + i \sqrt{71}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{71}}{2}$