Matemática discreta Ejemplos

$\frac{4}{y^{2} - 7 y + 10} - \frac{1}{y - 5} = \frac{1}{8 y - 16}$

Paso 1

Factoriza cada término.

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Paso 1.1

Factoriza $y^{2} - 7 y + 10$ con el método AC.

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Paso 1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $10$ y cuya suma es $- 7$ .

$- 5, - 2$

Paso 1.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{4}{(y - 5) (y - 2)} - \frac{1}{y - 5} = \frac{1}{8 y - 16}$

Paso 1.2

Factoriza $8$ de $8 y - 16$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $8$ de $8 y$ .

$\frac{4}{(y - 5) (y - 2)} - \frac{1}{y - 5} = \frac{1}{8 (y) - 16}$

Paso 1.2.2

Factoriza $8$ de $- 16$ .

$\frac{4}{(y - 5) (y - 2)} - \frac{1}{y - 5} = \frac{1}{8 y + 8 \cdot - 2}$

Paso 1.2.3

Factoriza $8$ de $8 y + 8 \cdot - 2$ .

$\frac{4}{(y - 5) (y - 2)} - \frac{1}{y - 5} = \frac{1}{8 (y - 2)}$

Paso 2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$(y - 5) (y - 2), y - 5, 8 (y - 2)$

Paso 2.2

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 2.3

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 2.4

Los factores primos para $8$ son $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Paso 2.4.1

$8$ tiene factores de $2$ y $4$ .

$2 \cdot 4$

Paso 2.4.2

$4$ tiene factores de $2$ y $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2$

Paso 2.5

Multiplica $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Paso 2.5.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 \cdot 2$

Paso 2.5.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$8$

Paso 2.6

El factor para $y - 5$ es $y - 5$ en sí mismo.

$(y - 5) = y - 5$

$(y - 5)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.7

El factor para $y - 2$ es $y - 2$ en sí mismo.

$(y - 2) = y - 2$

$(y - 2)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.8

El factor para $y - 5$ es $y - 5$ en sí mismo.

$(y - 5) = y - 5$

$(y - 5)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.9

El factor para $y - 2$ es $y - 2$ en sí mismo.

$(y - 2) = y - 2$

$(y - 2)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.10

El MCM de $y - 5, y - 2, y - 5, y - 2$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$(y - 5) (y - 2)$

Paso 2.11

El mínimo común múltiplo $LCM$ de algunos números es el número más pequeño del que los números son factores.

$8 (y - 5) (y - 2)$

Paso 3

Multiplica cada término en $\frac{4}{(y - 5) (y - 2)} - \frac{1}{y - 5} = \frac{1}{8 (y - 2)}$ por $8 (y - 5) (y - 2)$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.1

Multiplica cada término en $\frac{4}{(y - 5) (y - 2)} - \frac{1}{y - 5} = \frac{1}{8 (y - 2)}$ por $8 (y - 5) (y - 2)$ .

$\frac{4}{(y - 5) (y - 2)} (8 (y - 5) (y - 2)) - \frac{1}{y - 5} (8 (y - 5) (y - 2)) = \frac{1}{8 (y - 2)} (8 (y - 5) (y - 2))$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$8 \frac{4}{(y - 5) (y - 2)} ((y - 5) (y - 2)) - \frac{1}{y - 5} (8 (y - 5) (y - 2)) = \frac{1}{8 (y - 2)} (8 (y - 5) (y - 2))$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $8 \frac{4}{(y - 5) (y - 2)}$ .

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Paso 3.2.1.2.1

Combina $8$ y $\frac{4}{(y - 5) (y - 2)}$ .

$\frac{8 \cdot 4}{(y - 5) (y - 2)} ((y - 5) (y - 2)) - \frac{1}{y - 5} (8 (y - 5) (y - 2)) = \frac{1}{8 (y - 2)} (8 (y - 5) (y - 2))$

Paso 3.2.1.2.2

Multiplica $8$ por $4$ .

$\frac{32}{(y - 5) (y - 2)} ((y - 5) (y - 2)) - \frac{1}{y - 5} (8 (y - 5) (y - 2)) = \frac{1}{8 (y - 2)} (8 (y - 5) (y - 2))$

Paso 3.2.1.3

Cancela el factor común de $(y - 5) (y - 2)$ .

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Paso 3.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{32}{(y - 5) (y - 2)} ((y - 5) (y - 2)) - \frac{1}{y - 5} (8 (y - 5) (y - 2)) = \frac{1}{8 (y - 2)} (8 (y - 5) (y - 2))$

Paso 3.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$32 - \frac{1}{y - 5} (8 (y - 5) (y - 2)) = \frac{1}{8 (y - 2)} (8 (y - 5) (y - 2))$

Paso 3.2.1.4

Cancela el factor común de $y - 5$ .

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Paso 3.2.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{y - 5}$ al numerador.

$32 + \frac{- 1}{y - 5} (8 (y - 5) (y - 2)) = \frac{1}{8 (y - 2)} (8 (y - 5) (y - 2))$

Paso 3.2.1.4.2

Factoriza $y - 5$ de $8 (y - 5) (y - 2)$ .

$32 + \frac{- 1}{y - 5} ((y - 5) (8 (y - 2))) = \frac{1}{8 (y - 2)} (8 (y - 5) (y - 2))$

Paso 3.2.1.4.3

Cancela el factor común.

$32 + \frac{- 1}{y - 5} ((y - 5) (8 (y - 2))) = \frac{1}{8 (y - 2)} (8 (y - 5) (y - 2))$

Paso 3.2.1.4.4

Reescribe la expresión.

$32 - (8 (y - 2)) = \frac{1}{8 (y - 2)} (8 (y - 5) (y - 2))$

Paso 3.2.1.5

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$32 - 8 (y - 2) = \frac{1}{8 (y - 2)} (8 (y - 5) (y - 2))$

Paso 3.2.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$32 - 8 y - 8 \cdot - 2 = \frac{1}{8 (y - 2)} (8 (y - 5) (y - 2))$

Paso 3.2.1.7

Multiplica $- 8$ por $- 2$ .

$32 - 8 y + 16 = \frac{1}{8 (y - 2)} (8 (y - 5) (y - 2))$

Paso 3.2.2

Suma $32$ y $16$ .

$- 8 y + 48 = \frac{1}{8 (y - 2)} (8 (y - 5) (y - 2))$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 8 y + 48 = 8 \frac{1}{8 (y - 2)} ((y - 5) (y - 2))$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común.

$- 8 y + 48 = 8 \frac{1}{8 (y - 2)} ((y - 5) (y - 2))$

Paso 3.3.2.2

Reescribe la expresión.

$- 8 y + 48 = \frac{1}{y - 2} ((y - 5) (y - 2))$

Paso 3.3.3

Cancela el factor común de $y - 2$ .

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Paso 3.3.3.1

Factoriza $y - 2$ de $(y - 5) (y - 2)$ .

$- 8 y + 48 = \frac{1}{y - 2} ((y - 2) (y - 5))$

Paso 3.3.3.2

Cancela el factor común.

$- 8 y + 48 = \frac{1}{y - 2} ((y - 2) (y - 5))$

Paso 3.3.3.3

Reescribe la expresión.

$- 8 y + 48 = y - 5$

Paso 4

Resuelve la ecuación.

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Paso 4.1

Mueve todos los términos que contengan $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.1.1

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$- 8 y + 48 - y = - 5$

Paso 4.1.2

Resta $y$ de $- 8 y$ .

$- 9 y + 48 = - 5$

Paso 4.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Resta $48$ de ambos lados de la ecuación.

$- 9 y = - 5 - 48$

Paso 4.2.2

Resta $48$ de $- 5$ .

$- 9 y = - 53$

Paso 4.3

Divide cada término en $- 9 y = - 53$ por $- 9$ y simplifica.

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Paso 4.3.1

Divide cada término en $- 9 y = - 53$ por $- 9$ .

$\frac{- 9 y}{- 9} = \frac{- 53}{- 9}$

Paso 4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.2.1

Cancela el factor común de $- 9$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 9 y}{- 9} = \frac{- 53}{- 9}$

Paso 4.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 53}{- 9}$

Paso 4.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y = \frac{53}{9}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$y = \frac{53}{9}$

Forma decimal:

$y = 5.\overline{8}$

Forma de número mixto:

$y = 5 \frac{8}{9}$