Matemática discreta Ejemplos

$2 y^{\frac{12}{5}} - 17 y^{\frac{7}{5}} + 35 y^{\frac{2}{5}} = 0$

Paso 1

Obtén un factor común $y^{\frac{2}{5}}$ que esté presente en cada término.

$2 {(y^{\frac{2}{5}})}^{6} - 17 {(y^{\frac{2}{5}})}^{\frac{7}{2}} + 35 y^{\frac{2}{5}}$

Paso 2

Sustituye $u$ por $y^{\frac{2}{5}}$ .

$2 {(u)}^{6} - 17 {(u)}^{\frac{7}{2}} + 35 (u) = 0$

Paso 3

Resuelve $u$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Factoriza $u$ de $2 u^{6} - 17 u^{\frac{7}{2}} + 35 u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1.1

Factoriza $u$ de $2 u^{6}$ .

$u (2 u^{5}) - 17 u^{\frac{7}{2}} + 35 u = 0$

Paso 3.1.1.2

Factoriza $u$ de $- 17 u^{\frac{7}{2}}$ .

$u (2 u^{5}) + u (- 17 u^{\frac{5}{2}}) + 35 u = 0$

Paso 3.1.1.3

Factoriza $u$ de $35 u$ .

$u (2 u^{5}) + u (- 17 u^{\frac{5}{2}}) + u \cdot 35 = 0$

Paso 3.1.1.4

Factoriza $u$ de $u (2 u^{5}) + u (- 17 u^{\frac{5}{2}})$ .

$u (2 u^{5} - 17 u^{\frac{5}{2}}) + u \cdot 35 = 0$

Paso 3.1.1.5

Factoriza $u$ de $u (2 u^{5} - 17 u^{\frac{5}{2}}) + u \cdot 35$ .

$u (2 u^{5} - 17 u^{\frac{5}{2}} + 35) = 0$

Paso 3.1.2

Reescribe $u^{5}$ como ${(u^{\frac{5}{2}})}^{2}$ .

$u (2 {(u^{\frac{5}{2}})}^{2} - 17 u^{\frac{5}{2}} + 35) = 0$

Paso 3.1.3

Sea $u = u^{\frac{5}{2}}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $u^{\frac{5}{2}}$ .

$u (2 u^{2} - 17 u + 35) = 0$

Paso 3.1.4

Factoriza por agrupación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.4.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot 35 = 70$ y cuya suma es $b = - 17$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.4.1.1

Factoriza $- 17$ de $- 17 u$ .

$u (2 u^{2} - 17 u + 35) = 0$

Paso 3.1.4.1.2

Reescribe $- 17$ como $- 7$ más $- 10$

$u (2 u^{2} + (- 7 - 10) u + 35) = 0$

Paso 3.1.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$u (2 u^{2} - 7 u - 10 u + 35) = 0$

Paso 3.1.4.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.4.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$u ((2 u^{2} - 7 u) - 10 u + 35) = 0$

Paso 3.1.4.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$u (u (2 u - 7) - 5 (2 u - 7)) = 0$

Paso 3.1.4.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 u - 7$ .

$u ((2 u - 7) (u - 5)) = 0$

Paso 3.1.5

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.5.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $u^{\frac{5}{2}}$ .

$u ((2 u^{\frac{5}{2}} - 7) (u^{\frac{5}{2}} - 5)) = 0$

Paso 3.1.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$u (2 u^{\frac{5}{2}} - 7) (u^{\frac{5}{2}} - 5) = 0$

Paso 3.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u = 0$

$2 u^{\frac{5}{2}} - 7 = 0$

$u^{\frac{5}{2}} - 5 = 0$

Paso 3.3

Establece $u$ igual a $0$ .

$u = 0$

Paso 3.4

Establece $2 u^{\frac{5}{2}} - 7$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Establece $2 u^{\frac{5}{2}} - 7$ igual a $0$ .

$2 u^{\frac{5}{2}} - 7 = 0$

Paso 3.4.2

Resuelve $2 u^{\frac{5}{2}} - 7 = 0$ en $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.1

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$2 u^{\frac{5}{2}} = 7$

Paso 3.4.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{2}{5}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(2 u^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}} = 7^{\frac{2}{5}}$

Paso 3.4.2.3

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.3.1

Simplifica ${(2 u^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.3.1.1

Aplica la regla del producto a $2 u^{\frac{5}{2}}$ .

$2^{\frac{2}{5}} {(u^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}} = 7^{\frac{2}{5}}$

Paso 3.4.2.3.1.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.3.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{2}{5}} u^{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}} = 7^{\frac{2}{5}}$

Paso 3.4.2.3.1.2.2

Cancela el factor común de $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.3.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$2^{\frac{2}{5}} u^{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}} = 7^{\frac{2}{5}}$

Paso 3.4.2.3.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$2^{\frac{2}{5}} u^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 7^{\frac{2}{5}}$

Paso 3.4.2.3.1.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.3.1.2.3.1

Cancela el factor común.

$2^{\frac{2}{5}} u^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 7^{\frac{2}{5}}$

Paso 3.4.2.3.1.2.3.2

Reescribe la expresión.

$2^{\frac{2}{5}} u^{1} = 7^{\frac{2}{5}}$

Paso 3.4.2.3.1.3

Simplifica.

$2^{\frac{2}{5}} u = 7^{\frac{2}{5}}$

Paso 3.4.2.3.1.4

Reordena los factores en $2^{\frac{2}{5}} u$ .

$u \cdot 2^{\frac{2}{5}} = 7^{\frac{2}{5}}$

Paso 3.4.2.4

Divide cada término en $u \cdot 2^{\frac{2}{5}} = 7^{\frac{2}{5}}$ por $2^{\frac{2}{5}}$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.4.1

Divide cada término en $u \cdot 2^{\frac{2}{5}} = 7^{\frac{2}{5}}$ por $2^{\frac{2}{5}}$ .

$\frac{u \cdot 2^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}} = \frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}}$

Paso 3.4.2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.4.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{u \cdot 2^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}} = \frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}}$

Paso 3.4.2.4.2.2

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}}$

Paso 3.5

Establece $u^{\frac{5}{2}} - 5$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1

Establece $u^{\frac{5}{2}} - 5$ igual a $0$ .

$u^{\frac{5}{2}} - 5 = 0$

Paso 3.5.2

Resuelve $u^{\frac{5}{2}} - 5 = 0$ en $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.1

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$u^{\frac{5}{2}} = 5$

Paso 3.5.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{2}{5}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(u^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}} = 5^{\frac{2}{5}}$

Paso 3.5.2.3

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.3.1

Simplifica ${(u^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.3.1.1

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.3.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u^{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}} = 5^{\frac{2}{5}}$

Paso 3.5.2.3.1.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$u^{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}} = 5^{\frac{2}{5}}$

Paso 3.5.2.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$u^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 5^{\frac{2}{5}}$

Paso 3.5.2.3.1.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.3.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$u^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 5^{\frac{2}{5}}$

Paso 3.5.2.3.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$u^{1} = 5^{\frac{2}{5}}$

Paso 3.5.2.3.1.2

Simplifica.

$u = 5^{\frac{2}{5}}$

Paso 3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $u (2 u^{\frac{5}{2}} - 7) (u^{\frac{5}{2}} - 5) = 0$ verdadera.

$u = 0, \frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}}, 5^{\frac{2}{5}}$

Paso 4

Sustituye $y$ por $u$ .

$y^{\frac{2}{5}} = 0, \frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}}, 5^{\frac{2}{5}}$

Paso 5

Resuelve para $y^{\frac{2}{5}} = 0$ en $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{5}{2}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(y^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Paso 5.2

Simplifica el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Simplifica ${(y^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Paso 5.2.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Paso 5.2.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Paso 5.2.1.1.1.3

Cancela el factor común de $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Paso 5.2.1.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$y^{1} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Paso 5.2.1.1.2

Simplifica.

$y = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Simplifica $\pm 0^{\frac{5}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1.1

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1.1.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$y = \pm {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}$

Paso 5.2.2.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm 0^{2 (\frac{5}{2})}$

Paso 5.2.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$y = \pm 0^{2 (\frac{5}{2})}$

Paso 5.2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y = \pm 0^{5}$

Paso 5.2.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y = \pm 0$

Paso 5.2.2.1.4

Más o menos $0$ es $0$ .

$y = 0$

Paso 6

Resuelve para $y^{\frac{2}{5}} = \frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}}$ en $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{5}{2}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(y^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}} = \pm {(\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Simplifica ${(y^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm {(\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$

Paso 6.2.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm {(\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$

Paso 6.2.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm {(\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$

Paso 6.2.1.1.1.3

Cancela el factor común de $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm {(\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$

Paso 6.2.1.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$y^{1} = \pm {(\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$

Paso 6.2.1.1.2

Simplifica.

$y = \pm {(\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Simplifica $\pm {(\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}}$ .

$y = \pm \frac{{(7^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}{{(2^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 6.2.2.1.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1.2.1

Multiplica los exponentes en ${(7^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{7^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}}}{{(2^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 6.2.2.1.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$y = \pm \frac{7^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}}}{{(2^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 6.2.2.1.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y = \pm \frac{7^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{{(2^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 6.2.2.1.2.1.3

Cancela el factor común de $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$y = \pm \frac{7^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{{(2^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 6.2.2.1.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$y = \pm \frac{7^{1}}{{(2^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 6.2.2.1.2.2

Evalúa el exponente.

$y = \pm \frac{7}{{(2^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 6.2.2.1.3

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1.3.1

Multiplica los exponentes en ${(2^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{7}{2^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}}}$

Paso 6.2.2.1.3.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$y = \pm \frac{7}{2^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}}}$

Paso 6.2.2.1.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y = \pm \frac{7}{2^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Paso 6.2.2.1.3.1.3

Cancela el factor común de $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1.3.1.3.1

Cancela el factor común.

$y = \pm \frac{7}{2^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Paso 6.2.2.1.3.1.3.2

Reescribe la expresión.

$y = \pm \frac{7}{2^{1}}$

Paso 6.2.2.1.3.2

Evalúa el exponente.

$y = \pm \frac{7}{2}$

Paso 6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{7}{2}$

Paso 6.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \frac{7}{2}$

Paso 6.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{7}{2}, - \frac{7}{2}$

Paso 7

Como los exponentes son iguales, las bases de los exponentes en ambos lados de la ecuación deben ser iguales.

$y = 5$

Paso 8

Enumera todas las soluciones.

$y = 0, \frac{7}{2}, - \frac{7}{2}, 5$

Paso 9

Excluye las soluciones que no hagan que $2 y^{\frac{12}{5}} - 17 y^{\frac{7}{5}} + 35 y^{\frac{2}{5}} = 0$ sea verdadera.

$y = 0, \frac{7}{2}, 5$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$y = 0, \frac{7}{2}, 5$

Forma decimal:

$y = 0, 3.5, 5$

Forma de número mixto:

$y = 0, 3 \frac{1}{2}, 5$