Matemática discreta Ejemplos

$\frac{a + 2}{a^{2} - 9} - \frac{2 a}{6 a^{2} - 17 a - 3}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{a + 2}{a^{2} - 3^{2}} - \frac{2 a}{6 a^{2} - 17 a - 3}$

Paso 1.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = a$ y $b = 3$ .

$\frac{a + 2}{(a + 3) (a - 3)} - \frac{2 a}{6 a^{2} - 17 a - 3}$

Paso 1.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 6 \cdot - 3 = - 18$ y cuya suma es $b = - 17$ .

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Paso 1.2.1.1

Factoriza $- 17$ de $- 17 a$ .

$\frac{a + 2}{(a + 3) (a - 3)} - \frac{2 a}{6 a^{2} - 17 (a) - 3}$

Paso 1.2.1.2

Reescribe $- 17$ como $1$ más $- 18$

$\frac{a + 2}{(a + 3) (a - 3)} - \frac{2 a}{6 a^{2} + (1 - 18) a - 3}$

Paso 1.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a + 2}{(a + 3) (a - 3)} - \frac{2 a}{6 a^{2} + 1 a - 18 a - 3}$

Paso 1.2.1.4

Multiplica $a$ por $1$ .

$\frac{a + 2}{(a + 3) (a - 3)} - \frac{2 a}{6 a^{2} + a - 18 a - 3}$

Paso 1.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{a + 2}{(a + 3) (a - 3)} - \frac{2 a}{(6 a^{2} + a) - 18 a - 3}$

Paso 1.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{a + 2}{(a + 3) (a - 3)} - \frac{2 a}{a (6 a + 1) - 3 (6 a + 1)}$

Paso 1.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $6 a + 1$ .

$\frac{a + 2}{(a + 3) (a - 3)} - \frac{2 a}{(6 a + 1) (a - 3)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{a + 2}{(a + 3) (a - 3)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6 a + 1}{6 a + 1}$ .

$\frac{a + 2}{(a + 3) (a - 3)} \cdot \frac{6 a + 1}{6 a + 1} - \frac{2 a}{(6 a + 1) (a - 3)}$

Paso 3

Para escribir $- \frac{2 a}{(6 a + 1) (a - 3)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{a + 3}{a + 3}$ .

$\frac{a + 2}{(a + 3) (a - 3)} \cdot \frac{6 a + 1}{6 a + 1} - \frac{2 a}{(6 a + 1) (a - 3)} \cdot \frac{a + 3}{a + 3}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(a + 3) (a - 3) (6 a + 1)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{a + 2}{(a + 3) (a - 3)}$ por $\frac{6 a + 1}{6 a + 1}$ .

$\frac{(a + 2) (6 a + 1)}{(a + 3) (a - 3) (6 a + 1)} - \frac{2 a}{(6 a + 1) (a - 3)} \cdot \frac{a + 3}{a + 3}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{2 a}{(6 a + 1) (a - 3)}$ por $\frac{a + 3}{a + 3}$ .

$\frac{(a + 2) (6 a + 1)}{(a + 3) (a - 3) (6 a + 1)} - \frac{2 a (a + 3)}{(6 a + 1) (a - 3) (a + 3)}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(a + 3) (a - 3) (6 a + 1)$ .

$\frac{(a + 2) (6 a + 1)}{(6 a + 1) (a + 3) (a - 3)} - \frac{2 a (a + 3)}{(6 a + 1) (a - 3) (a + 3)}$

Paso 4.4

Reordena los factores de $(6 a + 1) (a - 3) (a + 3)$ .

$\frac{(a + 2) (6 a + 1)}{(6 a + 1) (a + 3) (a - 3)} - \frac{2 a (a + 3)}{(6 a + 1) (a + 3) (a - 3)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(a + 2) (6 a + 1) - 2 a (a + 3)}{(6 a + 1) (a + 3) (a - 3)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Expande $(a + 2) (6 a + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a (6 a + 1) + 2 (6 a + 1) - 2 a (a + 3)}{(6 a + 1) (a + 3) (a - 3)}$

Paso 6.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a (6 a) + a \cdot 1 + 2 (6 a + 1) - 2 a (a + 3)}{(6 a + 1) (a + 3) (a - 3)}$

Paso 6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a (6 a) + a \cdot 1 + 2 (6 a) + 2 \cdot 1 - 2 a (a + 3)}{(6 a + 1) (a + 3) (a - 3)}$

Paso 6.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{6 a \cdot a + a \cdot 1 + 2 (6 a) + 2 \cdot 1 - 2 a (a + 3)}{(6 a + 1) (a + 3) (a - 3)}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $a$ por $a$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.1.2.1

Mueve $a$ .

$\frac{6 (a \cdot a) + a \cdot 1 + 2 (6 a) + 2 \cdot 1 - 2 a (a + 3)}{(6 a + 1) (a + 3) (a - 3)}$

Paso 6.2.1.2.2

Multiplica $a$ por $a$ .

$\frac{6 a^{2} + a \cdot 1 + 2 (6 a) + 2 \cdot 1 - 2 a (a + 3)}{(6 a + 1) (a + 3) (a - 3)}$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $a$ por $1$ .

$\frac{6 a^{2} + a + 2 (6 a) + 2 \cdot 1 - 2 a (a + 3)}{(6 a + 1) (a + 3) (a - 3)}$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{6 a^{2} + a + 12 a + 2 \cdot 1 - 2 a (a + 3)}{(6 a + 1) (a + 3) (a - 3)}$

Paso 6.2.1.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{6 a^{2} + a + 12 a + 2 - 2 a (a + 3)}{(6 a + 1) (a + 3) (a - 3)}$

Paso 6.2.2

Suma $a$ y $12 a$ .

$\frac{6 a^{2} + 13 a + 2 - 2 a (a + 3)}{(6 a + 1) (a + 3) (a - 3)}$

Paso 6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 a^{2} + 13 a + 2 - 2 a \cdot a - 2 a \cdot 3}{(6 a + 1) (a + 3) (a - 3)}$

Paso 6.4

Multiplica $a$ por $a$ sumando los exponentes.

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Paso 6.4.1

Mueve $a$ .

$\frac{6 a^{2} + 13 a + 2 - 2 (a \cdot a) - 2 a \cdot 3}{(6 a + 1) (a + 3) (a - 3)}$

Paso 6.4.2

Multiplica $a$ por $a$ .

$\frac{6 a^{2} + 13 a + 2 - 2 a^{2} - 2 a \cdot 3}{(6 a + 1) (a + 3) (a - 3)}$

Paso 6.5

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$\frac{6 a^{2} + 13 a + 2 - 2 a^{2} - 6 a}{(6 a + 1) (a + 3) (a - 3)}$

Paso 6.6

Resta $2 a^{2}$ de $6 a^{2}$ .

$\frac{4 a^{2} + 13 a + 2 - 6 a}{(6 a + 1) (a + 3) (a - 3)}$

Paso 6.7

Resta $6 a$ de $13 a$ .

$\frac{4 a^{2} + 7 a + 2}{(6 a + 1) (a + 3) (a - 3)}$