Matemática discreta Ejemplos

$\frac{x}{3 x^{2} + 4 x - 32} - \frac{8 x}{3 x^{2} + 5 x - 28}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 32 = - 96$ y cuya suma es $b = 4$ .

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Paso 1.1.1.1

Factoriza $4$ de $4 x$ .

$\frac{x}{3 x^{2} + 4 (x) - 32} - \frac{8 x}{3 x^{2} + 5 x - 28}$

Paso 1.1.1.2

Reescribe $4$ como $- 8$ más $12$

$\frac{x}{3 x^{2} + (- 8 + 12) x - 32} - \frac{8 x}{3 x^{2} + 5 x - 28}$

Paso 1.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x}{3 x^{2} - 8 x + 12 x - 32} - \frac{8 x}{3 x^{2} + 5 x - 28}$

Paso 1.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{x}{(3 x^{2} - 8 x) + 12 x - 32} - \frac{8 x}{3 x^{2} + 5 x - 28}$

Paso 1.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x}{x (3 x - 8) + 4 (3 x - 8)} - \frac{8 x}{3 x^{2} + 5 x - 28}$

Paso 1.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x - 8$ .

$\frac{x}{(3 x - 8) (x + 4)} - \frac{8 x}{3 x^{2} + 5 x - 28}$

Paso 1.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 28 = - 84$ y cuya suma es $b = 5$ .

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Paso 1.2.1.1

Factoriza $5$ de $5 x$ .

$\frac{x}{(3 x - 8) (x + 4)} - \frac{8 x}{3 x^{2} + 5 (x) - 28}$

Paso 1.2.1.2

Reescribe $5$ como $- 7$ más $12$

$\frac{x}{(3 x - 8) (x + 4)} - \frac{8 x}{3 x^{2} + (- 7 + 12) x - 28}$

Paso 1.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x}{(3 x - 8) (x + 4)} - \frac{8 x}{3 x^{2} - 7 x + 12 x - 28}$

Paso 1.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{x}{(3 x - 8) (x + 4)} - \frac{8 x}{(3 x^{2} - 7 x) + 12 x - 28}$

Paso 1.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x}{(3 x - 8) (x + 4)} - \frac{8 x}{x (3 x - 7) + 4 (3 x - 7)}$

Paso 1.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x - 7$ .

$\frac{x}{(3 x - 8) (x + 4)} - \frac{8 x}{(3 x - 7) (x + 4)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{x}{(3 x - 8) (x + 4)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3 x - 7}{3 x - 7}$ .

$\frac{x}{(3 x - 8) (x + 4)} \cdot \frac{3 x - 7}{3 x - 7} - \frac{8 x}{(3 x - 7) (x + 4)}$

Paso 3

Para escribir $- \frac{8 x}{(3 x - 7) (x + 4)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3 x - 8}{3 x - 8}$ .

$\frac{x}{(3 x - 8) (x + 4)} \cdot \frac{3 x - 7}{3 x - 7} - \frac{8 x}{(3 x - 7) (x + 4)} \cdot \frac{3 x - 8}{3 x - 8}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(3 x - 8) (x + 4) (3 x - 7)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{x}{(3 x - 8) (x + 4)}$ por $\frac{3 x - 7}{3 x - 7}$ .

$\frac{x (3 x - 7)}{(3 x - 8) (x + 4) (3 x - 7)} - \frac{8 x}{(3 x - 7) (x + 4)} \cdot \frac{3 x - 8}{3 x - 8}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{8 x}{(3 x - 7) (x + 4)}$ por $\frac{3 x - 8}{3 x - 8}$ .

$\frac{x (3 x - 7)}{(3 x - 8) (x + 4) (3 x - 7)} - \frac{8 x (3 x - 8)}{(3 x - 7) (x + 4) (3 x - 8)}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(3 x - 8) (x + 4) (3 x - 7)$ .

$\frac{x (3 x - 7)}{(3 x - 7) (3 x - 8) (x + 4)} - \frac{8 x (3 x - 8)}{(3 x - 7) (x + 4) (3 x - 8)}$

Paso 4.4

Reordena los factores de $(3 x - 7) (x + 4) (3 x - 8)$ .

$\frac{x (3 x - 7)}{(3 x - 7) (3 x - 8) (x + 4)} - \frac{8 x (3 x - 8)}{(3 x - 7) (3 x - 8) (x + 4)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x (3 x - 7) - 8 x (3 x - 8)}{(3 x - 7) (3 x - 8) (x + 4)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Factoriza $x$ de $x (3 x - 7) - 8 x (3 x - 8)$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $x$ de $- 8 x (3 x - 8)$ .

$\frac{x (3 x - 7) + x (- 8 (3 x - 8))}{(3 x - 7) (3 x - 8) (x + 4)}$

Paso 6.1.2

Factoriza $x$ de $x (3 x - 7) + x (- 8 (3 x - 8))$ .

$\frac{x (3 x - 7 - 8 (3 x - 8))}{(3 x - 7) (3 x - 8) (x + 4)}$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (3 x - 7 - 8 (3 x) - 8 \cdot - 8)}{(3 x - 7) (3 x - 8) (x + 4)}$

Paso 6.3

Multiplica $3$ por $- 8$ .

$\frac{x (3 x - 7 - 24 x - 8 \cdot - 8)}{(3 x - 7) (3 x - 8) (x + 4)}$

Paso 6.4

Multiplica $- 8$ por $- 8$ .

$\frac{x (3 x - 7 - 24 x + 64)}{(3 x - 7) (3 x - 8) (x + 4)}$

Paso 6.5

Resta $24 x$ de $3 x$ .

$\frac{x (- 21 x - 7 + 64)}{(3 x - 7) (3 x - 8) (x + 4)}$

Paso 6.6

Suma $- 7$ y $64$ .

$\frac{x (- 21 x + 57)}{(3 x - 7) (3 x - 8) (x + 4)}$

Paso 6.7

Factoriza $3$ de $- 21 x + 57$ .

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Paso 6.7.1

Factoriza $3$ de $- 21 x$ .

$\frac{x (3 (- 7 x) + 57)}{(3 x - 7) (3 x - 8) (x + 4)}$

Paso 6.7.2

Factoriza $3$ de $57$ .

$\frac{x (3 (- 7 x) + 3 (19))}{(3 x - 7) (3 x - 8) (x + 4)}$

Paso 6.7.3

Factoriza $3$ de $3 (- 7 x) + 3 (19)$ .

$\frac{x (3 (- 7 x + 19))}{(3 x - 7) (3 x - 8) (x + 4)}$

$\frac{x \cdot 3 (- 7 x + 19)}{(3 x - 7) (3 x - 8) (x + 4)}$

Paso 7

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 7.1

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{3 \cdot x (- 7 x + 19)}{(3 x - 7) (3 x - 8) (x + 4)}$

Paso 7.2

Factoriza $- 1$ de $- 7 x$ .

$\frac{3 x (- (7 x) + 19)}{(3 x - 7) (3 x - 8) (x + 4)}$

Paso 7.3

Reescribe $19$ como $- 1 (- 19)$ .

$\frac{3 x (- (7 x) - 1 (- 19))}{(3 x - 7) (3 x - 8) (x + 4)}$

Paso 7.4

Factoriza $- 1$ de $- (7 x) - 1 (- 19)$ .

$\frac{3 x (- (7 x - 19))}{(3 x - 7) (3 x - 8) (x + 4)}$

Paso 7.5

Simplifica la expresión.

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Paso 7.5.1

Reescribe $- (7 x - 19)$ como $- 1 (7 x - 19)$ .

$\frac{3 x (- 1 (7 x - 19))}{(3 x - 7) (3 x - 8) (x + 4)}$

Paso 7.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{(3 x) (7 x - 19)}{(3 x - 7) (3 x - 8) (x + 4)}$

Paso 7.5.3

Reordena los factores en $- \frac{(3 x) (7 x - 19)}{(3 x - 7) (3 x - 8) (x + 4)}$ .

$- \frac{3 x (7 x - 19)}{(3 x - 7) (3 x - 8) (x + 4)}$