Matemática discreta Ejemplos

$\sqrt[3]{3 x y^{2}} \cdot \sqrt[4]{3 x^{2} y}$

Paso 1

Reescribe la expresión con el índice menos común de $12$ .

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{3 x y^{2}}$ como ${(3 x y^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 x y^{2})}^{\frac{1}{3}} \sqrt[4]{3 x^{2} y}$

Paso 1.2

Reescribe ${(3 x y^{2})}^{\frac{1}{3}}$ como ${(3 x y^{2})}^{\frac{4}{12}}$ .

${(3 x y^{2})}^{\frac{4}{12}} \sqrt[4]{3 x^{2} y}$

Paso 1.3

Reescribe ${(3 x y^{2})}^{\frac{4}{12}}$ como $\sqrt[12]{{(3 x y^{2})}^{4}}$ .

$\sqrt[12]{{(3 x y^{2})}^{4}} \sqrt[4]{3 x^{2} y}$

Paso 1.4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{3 x^{2} y}$ como ${(3 x^{2} y)}^{\frac{1}{4}}$ .

$\sqrt[12]{{(3 x y^{2})}^{4}} {(3 x^{2} y)}^{\frac{1}{4}}$

Paso 1.5

Reescribe ${(3 x^{2} y)}^{\frac{1}{4}}$ como ${(3 x^{2} y)}^{\frac{3}{12}}$ .

$\sqrt[12]{{(3 x y^{2})}^{4}} {(3 x^{2} y)}^{\frac{3}{12}}$

Paso 1.6

Reescribe ${(3 x^{2} y)}^{\frac{3}{12}}$ como $\sqrt[12]{{(3 x^{2} y)}^{3}}$ .

$\sqrt[12]{{(3 x y^{2})}^{4}} \sqrt[12]{{(3 x^{2} y)}^{3}}$

Paso 2

Combina con la regla del producto para radicales.

$\sqrt[12]{{(3 x y^{2})}^{4} {(3 x^{2} y)}^{3}}$

Paso 3

Aplica la regla del producto a $3 x y^{2}$ .

$\sqrt[12]{{(3 x)}^{4} {(y^{2})}^{4} {(3 x^{2} y)}^{3}}$

Paso 4

Aplica la regla del producto a $3 x^{2} y$ .

$\sqrt[12]{{(3 x)}^{4} {(y^{2})}^{4} {(3 x^{2})}^{3} y^{3}}$

Paso 5

Aplica la regla del producto a $3 x$ .

$\sqrt[12]{3^{4} x^{4} {(y^{2})}^{4} {(3 x^{2})}^{3} y^{3}}$

Paso 6

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$\sqrt[12]{81 x^{4} {(y^{2})}^{4} {(3 x^{2})}^{3} y^{3}}$

Paso 7

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{4}$ .

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Paso 7.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt[12]{81 x^{4} y^{2 \cdot 4} {(3 x^{2})}^{3} y^{3}}$

Paso 7.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$\sqrt[12]{81 x^{4} y^{8} {(3 x^{2})}^{3} y^{3}}$

Paso 8

Aplica la regla del producto a $3 x^{2}$ .

$\sqrt[12]{81 x^{4} y^{8} (3^{3} {(x^{2})}^{3}) y^{3}}$

Paso 9

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\sqrt[12]{81 x^{4} y^{8} (27 {(x^{2})}^{3}) y^{3}}$

Paso 10

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{3}$ .

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Paso 10.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt[12]{81 x^{4} y^{8} (27 x^{2 \cdot 3}) y^{3}}$

Paso 10.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\sqrt[12]{81 x^{4} y^{8} (27 x^{6}) y^{3}}$

$\sqrt[12]{81 x^{4} y^{8} \cdot 27 x^{6} y^{3}}$

Paso 11

Combina exponentes.

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Paso 11.1

Multiplica $27$ por $81$ .

$\sqrt[12]{2187 x^{4} y^{8} x^{6} y^{3}}$

Paso 11.2

Multiplica $x^{4}$ por $x^{6}$ sumando los exponentes.

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Paso 11.2.1

Mueve $x^{6}$ .

$\sqrt[12]{2187 (x^{6} x^{4}) y^{8} y^{3}}$

Paso 11.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sqrt[12]{2187 x^{6 + 4} y^{8} y^{3}}$

Paso 11.2.3

Suma $6$ y $4$ .

$\sqrt[12]{2187 x^{10} y^{8} y^{3}}$

Paso 11.3

Multiplica $y^{8}$ por $y^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 11.3.1

Mueve $y^{3}$ .

$\sqrt[12]{2187 x^{10} (y^{3} y^{8})}$

Paso 11.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sqrt[12]{2187 x^{10} y^{3 + 8}}$

Paso 11.3.3

Suma $3$ y $8$ .

$\sqrt[12]{2187 x^{10} y^{11}}$