Matemática discreta Ejemplos

$\frac{x + 5}{x^{2} + x - 12} - \frac{x - 7}{x^{2} + 7 x + 12}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Factoriza $x^{2} + x - 12$ con el método AC.

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Paso 1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 12$ y cuya suma es $1$ .

$- 3, 4$

Paso 1.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{x + 5}{(x - 3) (x + 4)} - \frac{x - 7}{x^{2} + 7 x + 12}$

Paso 1.2

Factoriza $x^{2} + 7 x + 12$ con el método AC.

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Paso 1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $12$ y cuya suma es $7$ .

$3, 4$

Paso 1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{x + 5}{(x - 3) (x + 4)} - \frac{x - 7}{(x + 3) (x + 4)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{x + 5}{(x - 3) (x + 4)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x + 5}{(x - 3) (x + 4)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{x - 7}{(x + 3) (x + 4)}$

Paso 3

Para escribir $- \frac{x - 7}{(x + 3) (x + 4)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{x + 5}{(x - 3) (x + 4)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{x - 7}{(x + 3) (x + 4)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x - 3) (x + 4) (x + 3)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{x + 5}{(x - 3) (x + 4)}$ por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{(x + 5) (x + 3)}{(x - 3) (x + 4) (x + 3)} - \frac{x - 7}{(x + 3) (x + 4)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{x - 7}{(x + 3) (x + 4)}$ por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{(x + 5) (x + 3)}{(x - 3) (x + 4) (x + 3)} - \frac{(x - 7) (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(x - 3) (x + 4) (x + 3)$ .

$\frac{(x + 5) (x + 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)} - \frac{(x - 7) (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(x + 5) (x + 3) - (x - 7) (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Expande $(x + 5) (x + 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (x + 3) + 5 (x + 3) - (x - 7) (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Paso 6.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 3 + 5 (x + 3) - (x - 7) (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Paso 6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 3 + 5 x + 5 \cdot 3 - (x - 7) (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Paso 6.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 3 + 5 x + 5 \cdot 3 - (x - 7) (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Paso 6.2.1.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 3 - (x - 7) (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $5$ por $3$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 5 x + 15 - (x - 7) (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Paso 6.2.2

Suma $3 x$ y $5 x$ .

$\frac{x^{2} + 8 x + 15 - (x - 7) (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Paso 6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 8 x + 15 + (- x - - 7) (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Paso 6.4

Multiplica $- 1$ por $- 7$ .

$\frac{x^{2} + 8 x + 15 + (- x + 7) (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Paso 6.5

Expande $(- x + 7) (x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 8 x + 15 - x (x - 3) + 7 (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Paso 6.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 8 x + 15 - x \cdot x - x \cdot - 3 + 7 (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Paso 6.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + 8 x + 15 - x \cdot x - x \cdot - 3 + 7 x + 7 \cdot - 3}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Paso 6.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.6.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.6.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{x^{2} + 8 x + 15 - (x \cdot x) - x \cdot - 3 + 7 x + 7 \cdot - 3}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Paso 6.6.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + 8 x + 15 - x^{2} - x \cdot - 3 + 7 x + 7 \cdot - 3}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Paso 6.6.1.2

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 8 x + 15 - x^{2} + 3 x + 7 x + 7 \cdot - 3}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Paso 6.6.1.3

Multiplica $7$ por $- 3$ .

$\frac{x^{2} + 8 x + 15 - x^{2} + 3 x + 7 x - 21}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Paso 6.6.2

Suma $3 x$ y $7 x$ .

$\frac{x^{2} + 8 x + 15 - x^{2} + 10 x - 21}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Paso 6.7

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{8 x + 15 + 0 + 10 x - 21}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Paso 6.8

Suma $8 x$ y $0$ .

$\frac{8 x + 15 + 10 x - 21}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Paso 6.9

Suma $8 x$ y $10 x$ .

$\frac{18 x + 15 - 21}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Paso 6.10

Resta $21$ de $15$ .

$\frac{18 x - 6}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Paso 6.11

Factoriza $6$ de $18 x - 6$ .

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Paso 6.11.1

Factoriza $6$ de $18 x$ .

$\frac{6 (3 x) - 6}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Paso 6.11.2

Factoriza $6$ de $- 6$ .

$\frac{6 (3 x) + 6 (- 1)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Paso 6.11.3

Factoriza $6$ de $6 (3 x) + 6 (- 1)$ .

$\frac{6 (3 x - 1)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$