Matemática discreta Ejemplos

$1 + \frac{1}{\frac{z}{z - \frac{1}{z}}}$

Paso 1

Simplifica los términos.

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Paso 1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$1 + 1 \frac{z - \frac{1}{z}}{z}$

Paso 1.1.2

Multiplica $\frac{z - \frac{1}{z}}{z}$ por $1$ .

$1 + \frac{z - \frac{1}{z}}{z}$

Paso 1.1.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.3.1

Para escribir $z$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{z}{z}$ .

$1 + \frac{\frac{z \cdot z}{z} - \frac{1}{z}}{z}$

Paso 1.1.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$1 + \frac{\frac{z \cdot z - 1}{z}}{z}$

Paso 1.1.3.3

Reescribe $\frac{z \cdot z - 1}{z}$ en forma factorizada.

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Paso 1.1.3.3.1

Eleva $z$ a la potencia de $1$ .

$1 + \frac{\frac{z^{1} z - 1}{z}}{z}$

Paso 1.1.3.3.2

Eleva $z$ a la potencia de $1$ .

$1 + \frac{\frac{z^{1} z^{1} - 1}{z}}{z}$

Paso 1.1.3.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1 + \frac{\frac{z^{1 + 1} - 1}{z}}{z}$

Paso 1.1.3.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$1 + \frac{\frac{z^{2} - 1}{z}}{z}$

Paso 1.1.3.3.5

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$1 + \frac{\frac{z^{2} - 1^{2}}{z}}{z}$

Paso 1.1.3.3.6

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = z$ y $b = 1$ .

$1 + \frac{\frac{(z + 1) (z - 1)}{z}}{z}$

Paso 1.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$1 + \frac{(z + 1) (z - 1)}{z} \cdot \frac{1}{z}$

Paso 1.1.5

Multiplica $\frac{(z + 1) (z - 1)}{z} \cdot \frac{1}{z}$ .

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Paso 1.1.5.1

Multiplica $\frac{(z + 1) (z - 1)}{z}$ por $\frac{1}{z}$ .

$1 + \frac{(z + 1) (z - 1)}{z \cdot z}$

Paso 1.1.5.2

Eleva $z$ a la potencia de $1$ .

$1 + \frac{(z + 1) (z - 1)}{z^{1} z}$

Paso 1.1.5.3

Eleva $z$ a la potencia de $1$ .

$1 + \frac{(z + 1) (z - 1)}{z^{1} z^{1}}$

Paso 1.1.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1 + \frac{(z + 1) (z - 1)}{z^{1 + 1}}$

Paso 1.1.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$1 + \frac{(z + 1) (z - 1)}{z^{2}}$

Paso 1.2

Combina en una fracción.

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Paso 1.2.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{z^{2}}{z^{2}} + \frac{(z + 1) (z - 1)}{z^{2}}$

Paso 1.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{z^{2} + (z + 1) (z - 1)}{z^{2}}$

Paso 2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1

Expande $(z + 1) (z - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{z^{2} + z (z - 1) + 1 (z - 1)}{z^{2}}$

Paso 2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{z^{2} + z \cdot z + z \cdot - 1 + 1 (z - 1)}{z^{2}}$

Paso 2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{z^{2} + z \cdot z + z \cdot - 1 + 1 z + 1 \cdot - 1}{z^{2}}$

Paso 2.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica $z$ por $z$ .

$\frac{z^{2} + z^{2} + z \cdot - 1 + 1 z + 1 \cdot - 1}{z^{2}}$

Paso 2.2.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $z$ .

$\frac{z^{2} + z^{2} - 1 \cdot z + 1 z + 1 \cdot - 1}{z^{2}}$

Paso 2.2.1.3

Reescribe $- 1 z$ como $- z$ .

$\frac{z^{2} + z^{2} - z + 1 z + 1 \cdot - 1}{z^{2}}$

Paso 2.2.1.4

Multiplica $z$ por $1$ .

$\frac{z^{2} + z^{2} - z + z + 1 \cdot - 1}{z^{2}}$

Paso 2.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{z^{2} + z^{2} - z + z - 1}{z^{2}}$

Paso 2.2.2

Suma $- z$ y $z$ .

$\frac{z^{2} + z^{2} + 0 - 1}{z^{2}}$

Paso 2.2.3

Suma $z^{2}$ y $0$ .

$\frac{z^{2} + z^{2} - 1}{z^{2}}$

Paso 2.3

Suma $z^{2}$ y $z^{2}$ .

$\frac{2 z^{2} - 1}{z^{2}}$