Matemática discreta Ejemplos

$8000 = \frac{200 ({(1.04)}^{n} - 1)}{0.04}$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $\frac{200 ({1.04}^{n} - 1)}{0.04} = 8000$ .

$\frac{200 ({1.04}^{n} - 1)}{0.04} = 8000$

Paso 2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{0.04}{200}$ .

$\frac{0.04}{200} \cdot \frac{200 ({1.04}^{n} - 1)}{0.04} = \frac{0.04}{200} \cdot 8000$

Paso 3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.1

Simplifica $\frac{0.04}{200} \cdot \frac{200 ({1.04}^{n} - 1)}{0.04}$ .

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Paso 3.1.1.1

Combinar.

$\frac{0.04 (200 ({1.04}^{n} - 1))}{200 \cdot 0.04} = \frac{0.04}{200} \cdot 8000$

Paso 3.1.1.2

Cancela el factor común de $0.04$ .

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Paso 3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{0.04 (200 ({1.04}^{n} - 1))}{200 \cdot 0.04} = \frac{0.04}{200} \cdot 8000$

Paso 3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{200 ({1.04}^{n} - 1)}{200} = \frac{0.04}{200} \cdot 8000$

Paso 3.1.1.3

Cancela el factor común de $200$ .

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Paso 3.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{200 ({1.04}^{n} - 1)}{200} = \frac{0.04}{200} \cdot 8000$

Paso 3.1.1.3.2

Divide ${1.04}^{n} - 1$ por $1$ .

${1.04}^{n} - 1 = \frac{0.04}{200} \cdot 8000$

Paso 3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Simplifica $\frac{0.04}{200} \cdot 8000$ .

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común de $0.04$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Cancela el factor común.

${1.04}^{n} - 1 = \frac{0.04}{200} \cdot 8000$

Paso 3.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

${1.04}^{n} - 1 = \frac{1}{200} \cdot \frac{8000}{25}$

Paso 3.2.1.2

Cancela el factor común de $200$ .

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Paso 3.2.1.2.1

Factoriza $200$ de $8000$ .

${1.04}^{n} - 1 = \frac{1}{200} \cdot \frac{200 (40)}{25}$

Paso 3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

${1.04}^{n} - 1 = \frac{1}{200} \cdot \frac{200 \cdot 40}{25}$

Paso 3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

${1.04}^{n} - 1 = \frac{40}{25}$

Paso 3.2.1.3

Cancela el factor común de $40$ y $25$ .

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Paso 3.2.1.3.1

Factoriza $5$ de $40$ .

${1.04}^{n} - 1 = \frac{5 (8)}{25}$

Paso 3.2.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.1.3.2.1

Factoriza $5$ de $25$ .

${1.04}^{n} - 1 = \frac{5 \cdot 8}{5 \cdot 5}$

Paso 3.2.1.3.2.2

Cancela el factor común.

${1.04}^{n} - 1 = \frac{5 \cdot 8}{5 \cdot 5}$

Paso 3.2.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

${1.04}^{n} - 1 = \frac{8}{5}$

Paso 4

Mueve todos los términos que no contengan $n$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

${1.04}^{n} = \frac{8}{5} + 1$

Paso 4.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

${1.04}^{n} = \frac{8}{5} + \frac{5}{5}$

Paso 4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${1.04}^{n} = \frac{8 + 5}{5}$

Paso 4.4

Suma $8$ y $5$ .

${1.04}^{n} = \frac{13}{5}$

Paso 5

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln ({1.04}^{n}) = \ln (\frac{13}{5})$

Paso 6

Expande $\ln ({1.04}^{n})$ ; para ello, mueve $n$ fuera del logaritmo.

$n \ln (1.04) = \ln (\frac{13}{5})$

Paso 7

Divide cada término en $n \ln (1.04) = \ln (\frac{13}{5})$ por $\ln (1.04)$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $n \ln (1.04) = \ln (\frac{13}{5})$ por $\ln (1.04)$ .

$\frac{n \ln (1.04)}{\ln (1.04)} = \frac{\ln (\frac{13}{5})}{\ln (1.04)}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $\ln (1.04)$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{n \ln (1.04)}{\ln (1.04)} = \frac{\ln (\frac{13}{5})}{\ln (1.04)}$

Paso 7.2.1.2

Divide $n$ por $1$ .

$n = \frac{\ln (\frac{13}{5})}{\ln (1.04)}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$n = \frac{\ln (\frac{13}{5})}{\ln (1.04)}$

Forma decimal:

$n = 24.36241894 \dots$