Matemática discreta Ejemplos

$(\frac{n^{2} + 3 n - 18}{n^{2} - 36}) \cdot (\frac{1 - 4 n^{2}}{2 n^{2} - 5 n - 3})$

Paso 1

Factoriza $n^{2} + 3 n - 18$ con el método AC.

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Paso 1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 18$ y cuya suma es $3$ .

$- 3, 6$

Paso 1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(n - 3) (n + 6)}{n^{2} - 36} \cdot \frac{1 - 4 n^{2}}{2 n^{2} - 5 n - 3}$

Paso 2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{(n - 3) (n + 6)}{n^{2} - 6^{2}} \cdot \frac{1 - 4 n^{2}}{2 n^{2} - 5 n - 3}$

Paso 2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = n$ y $b = 6$ .

$\frac{(n - 3) (n + 6)}{(n + 6) (n - 6)} \cdot \frac{1 - 4 n^{2}}{2 n^{2} - 5 n - 3}$

Paso 3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{(n - 3) (n + 6)}{(n + 6) (n - 6)} \cdot \frac{1^{2} - 4 n^{2}}{2 n^{2} - 5 n - 3}$

Paso 3.2

Reescribe $4 n^{2}$ como ${(2 n)}^{2}$ .

$\frac{(n - 3) (n + 6)}{(n + 6) (n - 6)} \cdot \frac{1^{2} - {(2 n)}^{2}}{2 n^{2} - 5 n - 3}$

Paso 3.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = 2 n$ .

$\frac{(n - 3) (n + 6)}{(n + 6) (n - 6)} \cdot \frac{(1 + 2 n) (1 - (2 n))}{2 n^{2} - 5 n - 3}$

Paso 3.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{(n - 3) (n + 6)}{(n + 6) (n - 6)} \cdot \frac{(1 + 2 n) (1 - 2 n)}{2 n^{2} - 5 n - 3}$

Paso 4

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ y cuya suma es $b = - 5$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $- 5$ de $- 5 n$ .

$\frac{(n - 3) (n + 6)}{(n + 6) (n - 6)} \cdot \frac{(1 + 2 n) (1 - 2 n)}{2 n^{2} - 5 (n) - 3}$

Paso 4.1.2

Reescribe $- 5$ como $1$ más $- 6$

$\frac{(n - 3) (n + 6)}{(n + 6) (n - 6)} \cdot \frac{(1 + 2 n) (1 - 2 n)}{2 n^{2} + (1 - 6) n - 3}$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(n - 3) (n + 6)}{(n + 6) (n - 6)} \cdot \frac{(1 + 2 n) (1 - 2 n)}{2 n^{2} + 1 n - 6 n - 3}$

Paso 4.1.4

Multiplica $n$ por $1$ .

$\frac{(n - 3) (n + 6)}{(n + 6) (n - 6)} \cdot \frac{(1 + 2 n) (1 - 2 n)}{2 n^{2} + n - 6 n - 3}$

Paso 4.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(n - 3) (n + 6)}{(n + 6) (n - 6)} \cdot \frac{(1 + 2 n) (1 - 2 n)}{(2 n^{2} + n) - 6 n - 3}$

Paso 4.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{(n - 3) (n + 6)}{(n + 6) (n - 6)} \cdot \frac{(1 + 2 n) (1 - 2 n)}{n (2 n + 1) - 3 (2 n + 1)}$

Paso 4.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 n + 1$ .

$\frac{(n - 3) (n + 6)}{(n + 6) (n - 6)} \cdot \frac{(1 + 2 n) (1 - 2 n)}{(2 n + 1) (n - 3)}$

Paso 5

Cancela el factor común de $n - 3$ .

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Paso 5.1

Factoriza $n - 3$ de $(2 n + 1) (n - 3)$ .

$\frac{(n - 3) (n + 6)}{(n + 6) (n - 6)} \cdot \frac{(1 + 2 n) (1 - 2 n)}{(n - 3) (2 n + 1)}$

Paso 5.2

Cancela el factor común.

$\frac{(n - 3) (n + 6)}{(n + 6) (n - 6)} \cdot \frac{(1 + 2 n) (1 - 2 n)}{(n - 3) (2 n + 1)}$

Paso 5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{n + 6}{(n + 6) (n - 6)} \cdot \frac{(1 + 2 n) (1 - 2 n)}{2 n + 1}$

Paso 6

Multiplica $\frac{n + 6}{(n + 6) (n - 6)}$ por $\frac{(1 + 2 n) (1 - 2 n)}{2 n + 1}$ .

$\frac{(n + 6) ((1 + 2 n) (1 - 2 n))}{(n + 6) (n - 6) (2 n + 1)}$

Paso 7

Cancela el factor común de $n + 6$ .

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Paso 7.1

Cancela el factor común.

$\frac{(n + 6) ((1 + 2 n) (1 - 2 n))}{(n + 6) (n - 6) (2 n + 1)}$

Paso 7.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(1 + 2 n) (1 - 2 n)}{(n - 6) (2 n + 1)}$

Paso 8

Cancela el factor común de $1 + 2 n$ y $2 n + 1$ .

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Paso 8.1

Reordena los términos.

$\frac{(2 n + 1) (1 - 2 n)}{(n - 6) (2 n + 1)}$

Paso 8.2

Cancela el factor común.

$\frac{(2 n + 1) (1 - 2 n)}{(n - 6) (2 n + 1)}$

Paso 8.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1 - 2 n}{n - 6}$