Matemática discreta Ejemplos

$(\frac{a^{2} - 7 a b - 18 b^{2}}{- a + 9 b}) \cdot (\frac{3 a - 6 b}{a^{2} - 4 b^{2}})$

Paso 1

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 1 \cdot - 18 = - 18$ y cuya suma es $b = - 7$ .

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Paso 1.1.1

Reordena los términos.

$\frac{a^{2} - 18 b^{2} - 7 a b}{- a + 9 b} \cdot \frac{3 a - 6 b}{a^{2} - 4 b^{2}}$

Paso 1.1.2

Reordena $- 18 b^{2}$ y $- 7 a b$ .

$\frac{a^{2} - 7 a b - 18 b^{2}}{- a + 9 b} \cdot \frac{3 a - 6 b}{a^{2} - 4 b^{2}}$

Paso 1.1.3

Factoriza $- 7$ de $- 7 a b$ .

$\frac{a^{2} - 7 (a b) - 18 b^{2}}{- a + 9 b} \cdot \frac{3 a - 6 b}{a^{2} - 4 b^{2}}$

Paso 1.1.4

Reescribe $- 7$ como $2$ más $- 9$

$\frac{a^{2} + (2 - 9) (a b) - 18 b^{2}}{- a + 9 b} \cdot \frac{3 a - 6 b}{a^{2} - 4 b^{2}}$

Paso 1.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a^{2} + 2 (a b) - 9 (a b) - 18 b^{2}}{- a + 9 b} \cdot \frac{3 a - 6 b}{a^{2} - 4 b^{2}}$

Paso 1.1.6

Mueve los paréntesis.

$\frac{a^{2} + 2 a b - 9 a b - 18 b^{2}}{- a + 9 b} \cdot \frac{3 a - 6 b}{a^{2} - 4 b^{2}}$

Paso 1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(a^{2} + 2 a b) - 9 a b - 18 b^{2}}{- a + 9 b} \cdot \frac{3 a - 6 b}{a^{2} - 4 b^{2}}$

Paso 1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{a (a + 2 b) - 9 b (a + 2 b)}{- a + 9 b} \cdot \frac{3 a - 6 b}{a^{2} - 4 b^{2}}$

Paso 1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $a + 2 b$ .

$\frac{(a + 2 b) (a - 9 b)}{- a + 9 b} \cdot \frac{3 a - 6 b}{a^{2} - 4 b^{2}}$

Paso 2

Factoriza $3$ de $3 a - 6 b$ .

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Paso 2.1

Factoriza $3$ de $3 a$ .

$\frac{(a + 2 b) (a - 9 b)}{- a + 9 b} \cdot \frac{3 (a) - 6 b}{a^{2} - 4 b^{2}}$

Paso 2.2

Factoriza $3$ de $- 6 b$ .

$\frac{(a + 2 b) (a - 9 b)}{- a + 9 b} \cdot \frac{3 (a) + 3 (- 2 b)}{a^{2} - 4 b^{2}}$

Paso 2.3

Factoriza $3$ de $3 (a) + 3 (- 2 b)$ .

$\frac{(a + 2 b) (a - 9 b)}{- a + 9 b} \cdot \frac{3 (a - 2 b)}{a^{2} - 4 b^{2}}$

Paso 3

Simplifica el denominador.

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Paso 3.1

Reescribe $4 b^{2}$ como ${(2 b)}^{2}$ .

$\frac{(a + 2 b) (a - 9 b)}{- a + 9 b} \cdot \frac{3 (a - 2 b)}{a^{2} - {(2 b)}^{2}}$

Paso 3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = a$ y $b = 2 b$ .

$\frac{(a + 2 b) (a - 9 b)}{- a + 9 b} \cdot \frac{3 (a - 2 b)}{(a + 2 b) (a - (2 b))}$

Paso 3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{(a + 2 b) (a - 9 b)}{- a + 9 b} \cdot \frac{3 (a - 2 b)}{(a + 2 b) (a - 2 b)}$

Paso 4

Simplifica los términos.

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Paso 4.1

Cancela el factor común de $a + 2 b$ .

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Paso 4.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(a + 2 b) (a - 9 b)}{- a + 9 b} \cdot \frac{3 (a - 2 b)}{(a + 2 b) (a - 2 b)}$

Paso 4.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{a - 9 b}{- a + 9 b} \cdot \frac{3 (a - 2 b)}{a - 2 b}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{a - 9 b}{- a + 9 b}$ por $\frac{3 (a - 2 b)}{a - 2 b}$ .

$\frac{(a - 9 b) (3 (a - 2 b))}{(- a + 9 b) (a - 2 b)}$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $a - 2 b$ .

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Paso 4.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{(a - 9 b) (3 (a - 2 b))}{(- a + 9 b) (a - 2 b)}$

Paso 4.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(a - 9 b) \cdot (3)}{- a + 9 b}$

Paso 4.4

Cancela el factor común de $a - 9 b$ y $- a + 9 b$ .

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Paso 4.4.1

Factoriza $- 1$ de $a$ .

$\frac{(- 1 (- a) - 9 b) \cdot 3}{- a + 9 b}$

Paso 4.4.2

Factoriza $- 1$ de $- 9 b$ .

$\frac{(- 1 (- a) - (9 b)) \cdot 3}{- a + 9 b}$

Paso 4.4.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- a) - (9 b)$ .

$\frac{- 1 (- a + 9 b) \cdot 3}{- a + 9 b}$

Paso 4.4.4

Cancela el factor común.

$\frac{- 1 (- a + 9 b) \cdot 3}{- a + 9 b}$

Paso 4.4.5

Divide $- 1 \cdot 3$ por $1$ .

$- 1 \cdot 3$

Paso 4.5

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3$