Matemática discreta Ejemplos

$\frac{x^{2} + 12 x + 20}{4 x^{2} - 9} \cdot \frac{6 x^{3} - 9 x^{2}}{x^{3} + 10 x^{2}} \cdot (2 x + 3)$

Paso 1

Factoriza $x^{2} + 12 x + 20$ con el método AC.

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Paso 1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $20$ y cuya suma es $12$ .

$2, 10$

Paso 1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x + 2) (x + 10)}{4 x^{2} - 9} \cdot \frac{6 x^{3} - 9 x^{2}}{x^{3} + 10 x^{2}} \cdot (2 x + 3)$

Paso 2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1

Reescribe $4 x^{2}$ como ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{(x + 2) (x + 10)}{{(2 x)}^{2} - 9} \cdot \frac{6 x^{3} - 9 x^{2}}{x^{3} + 10 x^{2}} \cdot (2 x + 3)$

Paso 2.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{(x + 2) (x + 10)}{{(2 x)}^{2} - 3^{2}} \cdot \frac{6 x^{3} - 9 x^{2}}{x^{3} + 10 x^{2}} \cdot (2 x + 3)$

Paso 2.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2 x$ y $b = 3$ .

$\frac{(x + 2) (x + 10)}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{6 x^{3} - 9 x^{2}}{x^{3} + 10 x^{2}} \cdot (2 x + 3)$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Factoriza $3 x^{2}$ de $6 x^{3} - 9 x^{2}$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $3 x^{2}$ de $6 x^{3}$ .

$\frac{(x + 2) (x + 10)}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{3 x^{2} (2 x) - 9 x^{2}}{x^{3} + 10 x^{2}} \cdot (2 x + 3)$

Paso 3.1.2

Factoriza $3 x^{2}$ de $- 9 x^{2}$ .

$\frac{(x + 2) (x + 10)}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{3 x^{2} (2 x) + 3 x^{2} (- 3)}{x^{3} + 10 x^{2}} \cdot (2 x + 3)$

Paso 3.1.3

Factoriza $3 x^{2}$ de $3 x^{2} (2 x) + 3 x^{2} (- 3)$ .

$\frac{(x + 2) (x + 10)}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{3 x^{2} (2 x - 3)}{x^{3} + 10 x^{2}} \cdot (2 x + 3)$

Paso 3.2

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3} + 10 x^{2}$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$\frac{(x + 2) (x + 10)}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{3 x^{2} (2 x - 3)}{x^{2} x + 10 x^{2}} \cdot (2 x + 3)$

Paso 3.2.2

Factoriza $x^{2}$ de $10 x^{2}$ .

$\frac{(x + 2) (x + 10)}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{3 x^{2} (2 x - 3)}{x^{2} x + x^{2} \cdot 10} \cdot (2 x + 3)$

Paso 3.2.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} x + x^{2} \cdot 10$ .

$\frac{(x + 2) (x + 10)}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{3 x^{2} (2 x - 3)}{x^{2} (x + 10)} \cdot (2 x + 3)$

Paso 3.3

Combinar.

$\frac{(x + 2) (x + 10) (3 x^{2} (2 x - 3))}{(2 x + 3) (2 x - 3) (x^{2} (x + 10))} \cdot (2 x + 3)$

Paso 3.4

Cancela el factor común de $2 x + 3$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza $2 x + 3$ de $(2 x + 3) (2 x - 3) x^{2} (x + 10)$ .

$\frac{(x + 2) (x + 10) \cdot 3 x^{2} (2 x - 3)}{(2 x + 3) ((2 x - 3) x^{2} (x + 10))} \cdot (2 x + 3)$

Paso 3.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 2) (x + 10) \cdot 3 x^{2} (2 x - 3)}{(2 x + 3) ((2 x - 3) x^{2} (x + 10))} \cdot (2 x + 3)$

Paso 3.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(x + 2) (x + 10) \cdot 3 x^{2} (2 x - 3)}{(2 x - 3) x^{2} (x + 10)}$

Paso 3.5

Cancela el factor común de $x + 10$ .

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Paso 3.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 2) (x + 10) \cdot 3 x^{2} (2 x - 3)}{(2 x - 3) x^{2} (x + 10)}$

Paso 3.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x + 2) \cdot 3 x^{2} (2 x - 3)}{(2 x - 3) x^{2}}$

Paso 3.6

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 3.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 2) \cdot 3 x^{2} (2 x - 3)}{(2 x - 3) x^{2}}$

Paso 3.6.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x + 2) \cdot 3 (2 x - 3)}{2 x - 3}$

Paso 3.7

Cancela el factor común de $2 x - 3$ .

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Paso 3.7.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 2) \cdot 3 (2 x - 3)}{2 x - 3}$

Paso 3.7.2

Divide $(x + 2) \cdot 3$ por $1$ .

$(x + 2) \cdot 3$

Paso 3.8

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot 3 + 2 \cdot 3$

Paso 3.9

Simplifica la expresión.

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Paso 3.9.1

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$3 \cdot x + 2 \cdot 3$

Paso 3.9.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$3 x + 6$