Matemática discreta Ejemplos

${(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{14} - {(\frac{1}{2} \cdot i)}^{14}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{14}}{2^{14}} - {(\frac{1}{2} \cdot i)}^{14}$

Paso 1.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.1

Reescribe ${\sqrt{3}}^{14}$ como $3^{7}$ .

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Paso 1.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{14}}{2^{14}} - {(\frac{1}{2} \cdot i)}^{14}$

Paso 1.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 14}}{2^{14}} - {(\frac{1}{2} \cdot i)}^{14}$

Paso 1.2.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $14$ .

$\frac{3^{\frac{14}{2}}}{2^{14}} - {(\frac{1}{2} \cdot i)}^{14}$

Paso 1.2.1.4

Cancela el factor común de $14$ y $2$ .

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Paso 1.2.1.4.1

Factoriza $2$ de $14$ .

$\frac{3^{\frac{2 \cdot 7}{2}}}{2^{14}} - {(\frac{1}{2} \cdot i)}^{14}$

Paso 1.2.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{3^{\frac{2 \cdot 7}{2 (1)}}}{2^{14}} - {(\frac{1}{2} \cdot i)}^{14}$

Paso 1.2.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3^{\frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 1}}}{2^{14}} - {(\frac{1}{2} \cdot i)}^{14}$

Paso 1.2.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3^{\frac{7}{1}}}{2^{14}} - {(\frac{1}{2} \cdot i)}^{14}$

Paso 1.2.1.4.2.4

Divide $7$ por $1$ .

$\frac{3^{7}}{2^{14}} - {(\frac{1}{2} \cdot i)}^{14}$

Paso 1.2.2

Eleva $3$ a la potencia de $7$ .

$\frac{2187}{2^{14}} - {(\frac{1}{2} \cdot i)}^{14}$

Paso 1.3

Eleva $2$ a la potencia de $14$ .

$\frac{2187}{16384} - {(\frac{1}{2} \cdot i)}^{14}$

Paso 1.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $i$ .

$\frac{2187}{16384} - {(\frac{i}{2})}^{14}$

Paso 1.5

Aplica la regla del producto a $\frac{i}{2}$ .

$\frac{2187}{16384} - \frac{i^{14}}{2^{14}}$

Paso 1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.6.1

Reescribe $i^{14}$ como ${(i^{4})}^{3} i^{2}$ .

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Paso 1.6.1.1

Factoriza $i^{12}$ .

$\frac{2187}{16384} - \frac{i^{12} i^{2}}{2^{14}}$

Paso 1.6.1.2

Reescribe $i^{12}$ como ${(i^{4})}^{3}$ .

$\frac{2187}{16384} - \frac{{(i^{4})}^{3} i^{2}}{2^{14}}$

Paso 1.6.2

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 1.6.2.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$\frac{2187}{16384} - \frac{{({(i^{2})}^{2})}^{3} i^{2}}{2^{14}}$

Paso 1.6.2.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{2187}{16384} - \frac{{({(- 1)}^{2})}^{3} i^{2}}{2^{14}}$

Paso 1.6.2.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{2187}{16384} - \frac{1^{3} i^{2}}{2^{14}}$

Paso 1.6.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{2187}{16384} - \frac{1 i^{2}}{2^{14}}$

Paso 1.6.4

Multiplica $i^{2}$ por $1$ .

$\frac{2187}{16384} - \frac{i^{2}}{2^{14}}$

Paso 1.6.5

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{2187}{16384} - \frac{- 1}{2^{14}}$

Paso 1.7

Eleva $2$ a la potencia de $14$ .

$\frac{2187}{16384} - \frac{- 1}{16384}$

Paso 1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2187}{16384} - - \frac{1}{16384}$

Paso 1.9

Multiplica $- - \frac{1}{16384}$ .

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Paso 1.9.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2187}{16384} + 1 (\frac{1}{16384})$

Paso 1.9.2

Multiplica $\frac{1}{16384}$ por $1$ .

$\frac{2187}{16384} + \frac{1}{16384}$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2187 + 1}{16384}$

Paso 2.2

Suma $2187$ y $1$ .

$\frac{2188}{16384}$

Paso 2.3

Cancela el factor común de $2188$ y $16384$ .

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Paso 2.3.1

Factoriza $4$ de $2188$ .

$\frac{4 (547)}{16384}$

Paso 2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.1

Factoriza $4$ de $16384$ .

$\frac{4 \cdot 547}{4 \cdot 4096}$

Paso 2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot 547}{4 \cdot 4096}$

Paso 2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{547}{4096}$

Paso 3

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{547}{4096}$

Forma decimal:

$0.13354492 \dots$