Matemática discreta Ejemplos

$\frac{y^{2} + 6}{y + 5} - \frac{y - 4}{y - 2}$

Paso 1

Para escribir $\frac{y^{2} + 6}{y + 5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y - 2}{y - 2}$ .

$\frac{y^{2} + 6}{y + 5} \cdot \frac{y - 2}{y - 2} - \frac{y - 4}{y - 2}$

Paso 2

Para escribir $- \frac{y - 4}{y - 2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y + 5}{y + 5}$ .

$\frac{y^{2} + 6}{y + 5} \cdot \frac{y - 2}{y - 2} - \frac{y - 4}{y - 2} \cdot \frac{y + 5}{y + 5}$

Paso 3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(y + 5) (y - 2)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{y^{2} + 6}{y + 5}$ por $\frac{y - 2}{y - 2}$ .

$\frac{(y^{2} + 6) (y - 2)}{(y + 5) (y - 2)} - \frac{y - 4}{y - 2} \cdot \frac{y + 5}{y + 5}$

Paso 3.2

Multiplica $\frac{y - 4}{y - 2}$ por $\frac{y + 5}{y + 5}$ .

$\frac{(y^{2} + 6) (y - 2)}{(y + 5) (y - 2)} - \frac{(y - 4) (y + 5)}{(y - 2) (y + 5)}$

Paso 3.3

Reordena los factores de $(y - 2) (y + 5)$ .

$\frac{(y^{2} + 6) (y - 2)}{(y + 5) (y - 2)} - \frac{(y - 4) (y + 5)}{(y + 5) (y - 2)}$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(y^{2} + 6) (y - 2) - (y - 4) (y + 5)}{(y + 5) (y - 2)}$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Expande $(y^{2} + 6) (y - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y^{2} (y - 2) + 6 (y - 2) - (y - 4) (y + 5)}{(y + 5) (y - 2)}$

Paso 5.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y^{2} y + y^{2} \cdot - 2 + 6 (y - 2) - (y - 4) (y + 5)}{(y + 5) (y - 2)}$

Paso 5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y^{2} y + y^{2} \cdot - 2 + 6 y + 6 \cdot - 2 - (y - 4) (y + 5)}{(y + 5) (y - 2)}$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1

Multiplica $y^{2}$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.1.1

Multiplica $y^{2}$ por $y$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{y^{2} y^{1} + y^{2} \cdot - 2 + 6 y + 6 \cdot - 2 - (y - 4) (y + 5)}{(y + 5) (y - 2)}$

Paso 5.2.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{y^{2 + 1} + y^{2} \cdot - 2 + 6 y + 6 \cdot - 2 - (y - 4) (y + 5)}{(y + 5) (y - 2)}$

Paso 5.2.1.2

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{y^{3} + y^{2} \cdot - 2 + 6 y + 6 \cdot - 2 - (y - 4) (y + 5)}{(y + 5) (y - 2)}$

Paso 5.2.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $y^{2}$ .

$\frac{y^{3} - 2 \cdot y^{2} + 6 y + 6 \cdot - 2 - (y - 4) (y + 5)}{(y + 5) (y - 2)}$

Paso 5.2.3

Multiplica $6$ por $- 2$ .

$\frac{y^{3} - 2 y^{2} + 6 y - 12 - (y - 4) (y + 5)}{(y + 5) (y - 2)}$

Paso 5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y^{3} - 2 y^{2} + 6 y - 12 + (- y - - 4) (y + 5)}{(y + 5) (y - 2)}$

Paso 5.4

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$\frac{y^{3} - 2 y^{2} + 6 y - 12 + (- y + 4) (y + 5)}{(y + 5) (y - 2)}$

Paso 5.5

Expande $(- y + 4) (y + 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y^{3} - 2 y^{2} + 6 y - 12 - y (y + 5) + 4 (y + 5)}{(y + 5) (y - 2)}$

Paso 5.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y^{3} - 2 y^{2} + 6 y - 12 - y \cdot y - y \cdot 5 + 4 (y + 5)}{(y + 5) (y - 2)}$

Paso 5.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y^{3} - 2 y^{2} + 6 y - 12 - y \cdot y - y \cdot 5 + 4 y + 4 \cdot 5}{(y + 5) (y - 2)}$

Paso 5.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.6.1.1

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 5.6.1.1.1

Mueve $y$ .

$\frac{y^{3} - 2 y^{2} + 6 y - 12 - (y \cdot y) - y \cdot 5 + 4 y + 4 \cdot 5}{(y + 5) (y - 2)}$

Paso 5.6.1.1.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{y^{3} - 2 y^{2} + 6 y - 12 - y^{2} - y \cdot 5 + 4 y + 4 \cdot 5}{(y + 5) (y - 2)}$

Paso 5.6.1.2

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{y^{3} - 2 y^{2} + 6 y - 12 - y^{2} - 5 y + 4 y + 4 \cdot 5}{(y + 5) (y - 2)}$

Paso 5.6.1.3

Multiplica $4$ por $5$ .

$\frac{y^{3} - 2 y^{2} + 6 y - 12 - y^{2} - 5 y + 4 y + 20}{(y + 5) (y - 2)}$

Paso 5.6.2

Suma $- 5 y$ y $4 y$ .

$\frac{y^{3} - 2 y^{2} + 6 y - 12 - y^{2} - y + 20}{(y + 5) (y - 2)}$

Paso 5.7

Resta $y^{2}$ de $- 2 y^{2}$ .

$\frac{y^{3} - 3 y^{2} + 6 y - 12 - y + 20}{(y + 5) (y - 2)}$

Paso 5.8

Resta $y$ de $6 y$ .

$\frac{y^{3} - 3 y^{2} + 5 y - 12 + 20}{(y + 5) (y - 2)}$

Paso 5.9

Suma $- 12$ y $20$ .

$\frac{y^{3} - 3 y^{2} + 5 y + 8}{(y + 5) (y - 2)}$