Matemática discreta Ejemplos

$\frac{y^{2} + 14 y + 48}{y^{2} + 6 y - 7} \cdot \frac{y^{2} + 9 y - 10}{y^{2} + 12 y + 36}$

Paso 1

Factoriza $y^{2} + 14 y + 48$ con el método AC.

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Paso 1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $48$ y cuya suma es $14$ .

$6, 8$

Paso 1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(y + 6) (y + 8)}{y^{2} + 6 y - 7} \cdot \frac{y^{2} + 9 y - 10}{y^{2} + 12 y + 36}$

Paso 2

Factoriza $y^{2} + 6 y - 7$ con el método AC.

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Paso 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 7$ y cuya suma es $6$ .

$- 1, 7$

Paso 2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(y + 6) (y + 8)}{(y - 1) (y + 7)} \cdot \frac{y^{2} + 9 y - 10}{y^{2} + 12 y + 36}$

Paso 3

Factoriza $y^{2} + 9 y - 10$ con el método AC.

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Paso 3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 10$ y cuya suma es $9$ .

$- 1, 10$

Paso 3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(y + 6) (y + 8)}{(y - 1) (y + 7)} \cdot \frac{(y - 1) (y + 10)}{y^{2} + 12 y + 36}$

Paso 4

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 4.1

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{(y + 6) (y + 8)}{(y - 1) (y + 7)} \cdot \frac{(y - 1) (y + 10)}{y^{2} + 12 y + 6^{2}}$

Paso 4.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$12 y = 2 \cdot y \cdot 6$

Paso 4.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{(y + 6) (y + 8)}{(y - 1) (y + 7)} \cdot \frac{(y - 1) (y + 10)}{y^{2} + 2 \cdot y \cdot 6 + 6^{2}}$

Paso 4.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = y$ y $b = 6$ .

$\frac{(y + 6) (y + 8)}{(y - 1) (y + 7)} \cdot \frac{(y - 1) (y + 10)}{{(y + 6)}^{2}}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Combinar.

$\frac{(y + 6) (y + 8) ((y - 1) (y + 10))}{(y - 1) (y + 7) {(y + 6)}^{2}}$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $y + 6$ y ${(y + 6)}^{2}$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $y + 6$ de $(y + 6) (y + 8) ((y - 1) (y + 10))$ .

$\frac{(y + 6) ((y + 8) ((y - 1) (y + 10)))}{(y - 1) (y + 7) {(y + 6)}^{2}}$

Paso 5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.2.1

Factoriza $y + 6$ de $(y - 1) (y + 7) {(y + 6)}^{2}$ .

$\frac{(y + 6) ((y + 8) ((y - 1) (y + 10)))}{(y + 6) ((y - 1) (y + 7) (y + 6))}$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{(y + 6) ((y + 8) ((y - 1) (y + 10)))}{(y + 6) ((y - 1) (y + 7) (y + 6))}$

Paso 5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(y + 8) ((y - 1) (y + 10))}{(y - 1) (y + 7) (y + 6)}$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $y - 1$ .

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Paso 5.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{(y + 8) ((y - 1) (y + 10))}{(y - 1) (y + 7) (y + 6)}$

Paso 5.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(y + 8) (y + 10)}{(y + 7) (y + 6)}$