Matemática discreta Ejemplos

$\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 5 x - 14} - \frac{x + 3}{x + 7}$

Paso 1

Factoriza $x^{2} + 5 x - 14$ con el método AC.

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Paso 1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 14$ y cuya suma es $5$ .

$- 2, 7$

Paso 1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{x^{2} - 5}{(x - 2) (x + 7)} - \frac{x + 3}{x + 7}$

Paso 2

Para escribir $- \frac{x + 3}{x + 7}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x^{2} - 5}{(x - 2) (x + 7)} - \frac{x + 3}{x + 7} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

Paso 3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x - 2) (x + 7)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{x + 3}{x + 7}$ por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x^{2} - 5}{(x - 2) (x + 7)} - \frac{(x + 3) (x - 2)}{(x + 7) (x - 2)}$

Paso 3.2

Reordena los factores de $(x - 2) (x + 7)$ .

$\frac{x^{2} - 5}{(x + 7) (x - 2)} - \frac{(x + 3) (x - 2)}{(x + 7) (x - 2)}$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{2} - 5 - (x + 3) (x - 2)}{(x + 7) (x - 2)}$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} - 5 + (- x - 1 \cdot 3) (x - 2)}{(x + 7) (x - 2)}$

Paso 5.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{x^{2} - 5 + (- x - 3) (x - 2)}{(x + 7) (x - 2)}$

Paso 5.3

Expande $(- x - 3) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} - 5 - x (x - 2) - 3 (x - 2)}{(x + 7) (x - 2)}$

Paso 5.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} - 5 - x \cdot x - x \cdot - 2 - 3 (x - 2)}{(x + 7) (x - 2)}$

Paso 5.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} - 5 - x \cdot x - x \cdot - 2 - 3 x - 3 \cdot - 2}{(x + 7) (x - 2)}$

Paso 5.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.4.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{x^{2} - 5 - (x \cdot x) - x \cdot - 2 - 3 x - 3 \cdot - 2}{(x + 7) (x - 2)}$

Paso 5.4.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} - 5 - x^{2} - x \cdot - 2 - 3 x - 3 \cdot - 2}{(x + 7) (x - 2)}$

Paso 5.4.1.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 5 - x^{2} + 2 x - 3 x - 3 \cdot - 2}{(x + 7) (x - 2)}$

Paso 5.4.1.3

Multiplica $- 3$ por $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 5 - x^{2} + 2 x - 3 x + 6}{(x + 7) (x - 2)}$

Paso 5.4.2

Resta $3 x$ de $2 x$ .

$\frac{x^{2} - 5 - x^{2} - x + 6}{(x + 7) (x - 2)}$

Paso 5.5

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{0 - 5 - x + 6}{(x + 7) (x - 2)}$

Paso 5.6

Resta $5$ de $0$ .

$\frac{- 5 - x + 6}{(x + 7) (x - 2)}$

Paso 5.7

Suma $- 5$ y $6$ .

$\frac{- x + 1}{(x + 7) (x - 2)}$

Paso 6

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 6.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{- (x) + 1}{(x + 7) (x - 2)}$

Paso 6.2

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x) - 1 (- 1)}{(x + 7) (x - 2)}$

Paso 6.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x - 1)}{(x + 7) (x - 2)}$

Paso 6.4

Simplifica la expresión.

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Paso 6.4.1

Reescribe $- (x - 1)$ como $- 1 (x - 1)$ .

$\frac{- 1 (x - 1)}{(x + 7) (x - 2)}$

Paso 6.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x - 1}{(x + 7) (x - 2)}$