Matemática discreta Ejemplos

$\frac{x^{2} + 5 x - 14}{x^{2} - 3 x + 2} \cdot \frac{x^{2} - 6 x + 5}{x^{2} - 25}$

Paso 1

Factoriza $x^{2} + 5 x - 14$ con el método AC.

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Paso 1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 14$ y cuya suma es $5$ .

$- 2, 7$

Paso 1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 2) (x + 7)}{x^{2} - 3 x + 2} \cdot \frac{x^{2} - 6 x + 5}{x^{2} - 25}$

Paso 2

Factoriza $x^{2} - 3 x + 2$ con el método AC.

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Paso 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $2$ y cuya suma es $- 3$ .

$- 2, - 1$

Paso 2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 2) (x + 7)}{(x - 2) (x - 1)} \cdot \frac{x^{2} - 6 x + 5}{x^{2} - 25}$

Paso 3

Factoriza $x^{2} - 6 x + 5$ con el método AC.

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Paso 3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $5$ y cuya suma es $- 6$ .

$- 5, - 1$

Paso 3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 2) (x + 7)}{(x - 2) (x - 1)} \cdot \frac{(x - 5) (x - 1)}{x^{2} - 25}$

Paso 4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{(x - 2) (x + 7)}{(x - 2) (x - 1)} \cdot \frac{(x - 5) (x - 1)}{x^{2} - 5^{2}}$

Paso 4.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 5$ .

$\frac{(x - 2) (x + 7)}{(x - 2) (x - 1)} \cdot \frac{(x - 5) (x - 1)}{(x + 5) (x - 5)}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $x - 1$ de $(x - 2) (x - 1)$ .

$\frac{(x - 2) (x + 7)}{(x - 1) (x - 2)} \cdot \frac{(x - 5) (x - 1)}{(x + 5) (x - 5)}$

Paso 5.1.2

Factoriza $x - 1$ de $(x - 5) (x - 1)$ .

$\frac{(x - 2) (x + 7)}{(x - 1) (x - 2)} \cdot \frac{(x - 1) (x - 5)}{(x + 5) (x - 5)}$

Paso 5.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 2) (x + 7)}{(x - 1) (x - 2)} \cdot \frac{(x - 1) (x - 5)}{(x + 5) (x - 5)}$

Paso 5.1.4

Reescribe la expresión.

$\frac{(x - 2) (x + 7)}{x - 2} \cdot \frac{x - 5}{(x + 5) (x - 5)}$

Paso 5.2

Multiplica $\frac{(x - 2) (x + 7)}{x - 2}$ por $\frac{x - 5}{(x + 5) (x - 5)}$ .

$\frac{(x - 2) (x + 7) (x - 5)}{(x - 2) ((x + 5) (x - 5))}$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 5.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 2) (x + 7) (x - 5)}{(x - 2) ((x + 5) (x - 5))}$

Paso 5.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x + 7) (x - 5)}{(x + 5) (x - 5)}$

Paso 5.4

Cancela el factor común de $x - 5$ .

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Paso 5.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 7) (x - 5)}{(x + 5) (x - 5)}$

Paso 5.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x + 7}{x + 5}$