Matemática discreta Ejemplos

$\frac{e^{4 t} + 2 e^{3 t} + e^{2 t}}{e^{2 t}}$

Paso 1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.1.1

Reescribe $e^{4 t}$ como ${(e^{2 t})}^{2}$ .

$\frac{{(e^{2 t})}^{2} + 2 e^{3 t} + e^{2 t}}{e^{2 t}}$

Paso 1.1.2

Reescribe $e^{2 t}$ como ${(e^{t})}^{2}$ .

$\frac{{(e^{2 t})}^{2} + 2 e^{3 t} + {(e^{t})}^{2}}{e^{2 t}}$

Paso 1.1.3

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 e^{3 t} = 2 \cdot e^{2 t} \cdot e^{t}$

Paso 1.1.4

Reescribe el polinomio.

$\frac{{(e^{2 t})}^{2} + 2 \cdot e^{2 t} \cdot e^{t} + {(e^{t})}^{2}}{e^{2 t}}$

Paso 1.1.5

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = e^{2 t}$ y $b = e^{t}$ .

$\frac{{(e^{2 t} + e^{t})}^{2}}{e^{2 t}}$

Paso 1.2

Reescribe $e^{2 t}$ como ${(e^{t})}^{2}$ .

$\frac{{({(e^{t})}^{2} + e^{t})}^{2}}{e^{2 t}}$

Paso 1.3

Sea $u = e^{t}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $e^{t}$ .

$\frac{{(u^{2} + u)}^{2}}{e^{2 t}}$

Paso 1.4

Factoriza $u$ de $u^{2} + u$ .

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Paso 1.4.1

Factoriza $u$ de $u^{2}$ .

$\frac{{(u \cdot u + u)}^{2}}{e^{2 t}}$

Paso 1.4.2

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(u \cdot u + u^{1})}^{2}}{e^{2 t}}$

Paso 1.4.3

Factoriza $u$ de $u^{1}$ .

$\frac{{(u \cdot u + u \cdot 1)}^{2}}{e^{2 t}}$

Paso 1.4.4

Factoriza $u$ de $u \cdot u + u \cdot 1$ .

$\frac{{(u (u + 1))}^{2}}{e^{2 t}}$

Paso 1.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $e^{t}$ .

$\frac{{(e^{t} (e^{t} + 1))}^{2}}{e^{2 t}}$

Paso 1.6

Aplica la regla del producto a $e^{t} (e^{t} + 1)$ .

$\frac{{(e^{t})}^{2} {(e^{t} + 1)}^{2}}{e^{2 t}}$

Paso 1.7

Multiplica los exponentes en ${(e^{t})}^{2}$ .

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Paso 1.7.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{t \cdot 2} {(e^{t} + 1)}^{2}}{e^{2 t}}$

Paso 1.7.2

Mueve $2$ a la izquierda de $t$ .

$\frac{e^{2 t} {(e^{t} + 1)}^{2}}{e^{2 t}}$

Paso 2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 2.1

Cancela el factor común de $e^{2 t}$ .

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Paso 2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{2 t} {(e^{t} + 1)}^{2}}{e^{2 t}}$

Paso 2.1.2

Divide ${(e^{t} + 1)}^{2}$ por $1$ .

${(e^{t} + 1)}^{2}$

Paso 2.2

Reescribe ${(e^{t} + 1)}^{2}$ como $(e^{t} + 1) (e^{t} + 1)$ .

$(e^{t} + 1) (e^{t} + 1)$

Paso 3

Expande $(e^{t} + 1) (e^{t} + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{t} (e^{t} + 1) + 1 (e^{t} + 1)$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{t} e^{t} + e^{t} \cdot 1 + 1 (e^{t} + 1)$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{t} e^{t} + e^{t} \cdot 1 + 1 e^{t} + 1 \cdot 1$

Paso 4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica $e^{t}$ por $e^{t}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{t + t} + e^{t} \cdot 1 + 1 e^{t} + 1 \cdot 1$

Paso 4.1.1.2

Suma $t$ y $t$ .

$e^{2 t} + e^{t} \cdot 1 + 1 e^{t} + 1 \cdot 1$

Paso 4.1.2

Multiplica $e^{t}$ por $1$ .

$e^{2 t} + e^{t} + 1 e^{t} + 1 \cdot 1$

Paso 4.1.3

Multiplica $e^{t}$ por $1$ .

$e^{2 t} + e^{t} + e^{t} + 1 \cdot 1$

Paso 4.1.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$e^{2 t} + e^{t} + e^{t} + 1$

Paso 4.2

Suma $e^{t}$ y $e^{t}$ .

$e^{2 t} + 2 e^{t} + 1$