Matemática discreta Ejemplos

$\frac{2^{n + 1}}{{(2^{n})}^{n - 1}} \cdot \frac{{(2^{n - 1})}^{n + 1}}{4^{n + 1}}$

Paso 1

Combinar.

$\frac{2^{n + 1} {(2^{n - 1})}^{n + 1}}{{(2^{n})}^{n - 1} \cdot 4^{n + 1}}$

Paso 2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1

Multiplica los exponentes en ${(2^{n - 1})}^{n + 1}$ .

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Paso 2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{n + 1} \cdot 2^{(n - 1) (n + 1)}}{{(2^{n})}^{n - 1} \cdot 4^{n + 1}}$

Paso 2.1.2

Expande $(n - 1) (n + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2^{n + 1} \cdot 2^{n (n + 1) - 1 (n + 1)}}{{(2^{n})}^{n - 1} \cdot 4^{n + 1}}$

Paso 2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2^{n + 1} \cdot 2^{n \cdot n + n \cdot 1 - 1 (n + 1)}}{{(2^{n})}^{n - 1} \cdot 4^{n + 1}}$

Paso 2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2^{n + 1} \cdot 2^{n \cdot n + n \cdot 1 - 1 n - 1 \cdot 1}}{{(2^{n})}^{n - 1} \cdot 4^{n + 1}}$

Paso 2.1.3

Combina los términos opuestos en $n \cdot n + n \cdot 1 - 1 n - 1 \cdot 1$ .

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Paso 2.1.3.1

Reordena los factores en los términos $n \cdot 1$ y $- 1 n$ .

$\frac{2^{n + 1} \cdot 2^{n \cdot n + 1 n - 1 n - 1 \cdot 1}}{{(2^{n})}^{n - 1} \cdot 4^{n + 1}}$

Paso 2.1.3.2

Resta $1 n$ de $1 n$ .

$\frac{2^{n + 1} \cdot 2^{n \cdot n + 0 - 1 \cdot 1}}{{(2^{n})}^{n - 1} \cdot 4^{n + 1}}$

Paso 2.1.3.3

Suma $n \cdot n$ y $0$ .

$\frac{2^{n + 1} \cdot 2^{n \cdot n - 1 \cdot 1}}{{(2^{n})}^{n - 1} \cdot 4^{n + 1}}$

Paso 2.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.4.1

Multiplica $n$ por $n$ .

$\frac{2^{n + 1} \cdot 2^{n^{2} - 1 \cdot 1}}{{(2^{n})}^{n - 1} \cdot 4^{n + 1}}$

Paso 2.1.4.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2^{n + 1} \cdot 2^{n^{2} - 1}}{{(2^{n})}^{n - 1} \cdot 4^{n + 1}}$

Paso 2.2

Multiplica los exponentes en ${(2^{n})}^{n - 1}$ .

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Paso 2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{n + 1} \cdot 2^{n^{2} - 1}}{2^{n (n - 1)} \cdot 4^{n + 1}}$

Paso 2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2^{n + 1} \cdot 2^{n^{2} - 1}}{2^{n \cdot n + n \cdot - 1} \cdot 4^{n + 1}}$

Paso 2.2.3

Multiplica $n$ por $n$ .

$\frac{2^{n + 1} \cdot 2^{n^{2} - 1}}{2^{n^{2} + n \cdot - 1} \cdot 4^{n + 1}}$

Paso 2.2.4

Mueve $- 1$ a la izquierda de $n$ .

$\frac{2^{n + 1} \cdot 2^{n^{2} - 1}}{2^{n^{2} - 1 \cdot n} \cdot 4^{n + 1}}$

Paso 2.2.5

Reescribe $- 1 n$ como $- n$ .

$\frac{2^{n + 1} \cdot 2^{n^{2} - 1}}{2^{n^{2} - n} \cdot 4^{n + 1}}$

Paso 3

Multiplica $2^{n + 1}$ por $2^{n^{2} - 1}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2^{n + 1 + n^{2} - 1}}{2^{n^{2} - n} \cdot 4^{n + 1}}$

Paso 3.2

Combina los términos opuestos en $n + 1 + n^{2} - 1$ .

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Paso 3.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{2^{n + n^{2} + 0}}{2^{n^{2} - n} \cdot 4^{n + 1}}$

Paso 3.2.2

Suma $n + n^{2}$ y $0$ .

$\frac{2^{n + n^{2}}}{2^{n^{2} - n} \cdot 4^{n + 1}}$

Paso 4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{2^{n + n^{2}}}{2^{n^{2} - n} \cdot {(2^{2})}^{n + 1}}$

Paso 4.2

Multiplica los exponentes en ${(2^{2})}^{n + 1}$ .

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Paso 4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{n + n^{2}}}{2^{n^{2} - n} \cdot 2^{2 (n + 1)}}$

Paso 4.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2^{n + n^{2}}}{2^{n^{2} - n} \cdot 2^{2 n + 2 \cdot 1}}$

Paso 4.2.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2^{n + n^{2}}}{2^{n^{2} - n} \cdot 2^{2 n + 2}}$

Paso 4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2^{n + n^{2}}}{2^{n^{2} - n + 2 n + 2}}$

Paso 4.4

Suma $- n$ y $2 n$ .

$\frac{2^{n + n^{2}}}{2^{n^{2} + n + 2}}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Cancela el factor común de $2^{n + n^{2}}$ y $2^{n^{2} + n + 2}$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $2^{n^{2} + n + 2}$ de $2^{n + n^{2}}$ .

$\frac{2^{n^{2} + n + 2} \cdot 2^{n + n^{2} - (n^{2} + n + 2)}}{2^{n^{2} + n + 2}}$

Paso 5.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.1.2.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{2^{n^{2} + n + 2} \cdot 2^{n + n^{2} - (n^{2} + n + 2)}}{2^{n^{2} + n + 2} \cdot 1}$

Paso 5.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2^{n^{2} + n + 2} \cdot 2^{n + n^{2} - (n^{2} + n + 2)}}{2^{n^{2} + n + 2} \cdot 1}$

Paso 5.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2^{n + n^{2} - (n^{2} + n + 2)}}{1}$

Paso 5.1.2.4

Divide $2^{n + n^{2} - (n^{2} + n + 2)}$ por $1$ .

$2^{n + n^{2} - (n^{2} + n + 2)}$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2^{n + n^{2} - n^{2} - n - 1 \cdot 2}$

Paso 5.2.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2^{n + n^{2} - n^{2} - n - 2}$

Paso 5.3

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 5.3.1

Combina los términos opuestos en $n + n^{2} - n^{2} - n - 2$ .

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Paso 5.3.1.1

Resta $n^{2}$ de $n^{2}$ .

$2^{n + 0 - n - 2}$

Paso 5.3.1.2

Suma $n$ y $0$ .

$2^{n - n - 2}$

Paso 5.3.1.3

Resta $n$ de $n$ .

$2^{0 - 2}$

Paso 5.3.2

Resta $2$ de $0$ .

$2^{- 2}$

Paso 6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2^{2}}$

Paso 7

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{4}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{4}$

Forma decimal:

$0.25$