Matemática discreta Ejemplos

$\frac{\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x (x^{2} - 16)}}{\frac{x^{2} + 4 x + 4}{9 x^{2}}}$

Paso 1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x (x^{2} - 16)} \cdot \frac{9 x^{2}}{x^{2} + 4 x + 4}$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Cancela el factor común de $3 x$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $3 x$ de $9 x^{2}$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x (x^{2} - 16)} \cdot \frac{3 x (3 x)}{x^{2} + 4 x + 4}$

Paso 2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x (x^{2} - 16)} \cdot \frac{3 x (3 x)}{x^{2} + 4 x + 4}$

Paso 2.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{x^{2} - 16} \cdot \frac{3 x}{x^{2} + 4 x + 4}$

Paso 2.2

Multiplica $\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{x^{2} - 16}$ por $\frac{3 x}{x^{2} + 4 x + 4}$ .

$\frac{(x^{3} - 2 x^{2} - 8 x) (3 x)}{(x^{2} - 16) (x^{2} + 4 x + 4)}$

Paso 3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1

Factoriza $x$ de $x^{3} - 2 x^{2} - 8 x$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{(x \cdot x^{2} - 2 x^{2} - 8 x) \cdot 3 x}{(x^{2} - 16) (x^{2} + 4 x + 4)}$

Paso 3.1.2

Factoriza $x$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{(x \cdot x^{2} + x (- 2 x) - 8 x) \cdot 3 x}{(x^{2} - 16) (x^{2} + 4 x + 4)}$

Paso 3.1.3

Factoriza $x$ de $- 8 x$ .

$\frac{(x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot - 8) \cdot 3 x}{(x^{2} - 16) (x^{2} + 4 x + 4)}$

Paso 3.1.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x (- 2 x)$ .

$\frac{(x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 8) \cdot 3 x}{(x^{2} - 16) (x^{2} + 4 x + 4)}$

Paso 3.1.5

Factoriza $x$ de $x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 8$ .

$\frac{x (x^{2} - 2 x - 8) \cdot 3 x}{(x^{2} - 16) (x^{2} + 4 x + 4)}$

Paso 3.2

Factoriza $x^{2} - 2 x - 8$ con el método AC.

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Paso 3.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 8$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 4, 2$

Paso 3.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{x ((x - 4) (x + 2)) \cdot 3 x}{(x^{2} - 16) (x^{2} + 4 x + 4)}$

$\frac{x (x - 4) (x + 2) \cdot 3 x}{(x^{2} - 16) (x^{2} + 4 x + 4)}$

Paso 3.3

Combina exponentes.

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Paso 3.3.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{1} x (x - 4) (x + 2) \cdot 3}{(x^{2} - 16) (x^{2} + 4 x + 4)}$

Paso 3.3.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{1} x^{1} (x - 4) (x + 2) \cdot 3}{(x^{2} - 16) (x^{2} + 4 x + 4)}$

Paso 3.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{1 + 1} (x - 4) (x + 2) \cdot 3}{(x^{2} - 16) (x^{2} + 4 x + 4)}$

Paso 3.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x^{2} (x - 4) (x + 2) \cdot 3}{(x^{2} - 16) (x^{2} + 4 x + 4)}$

Paso 4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x - 4) (x + 2) \cdot 3}{(x^{2} - 4^{2}) (x^{2} + 4 x + 4)}$

Paso 4.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

$\frac{x^{2} (x - 4) (x + 2) \cdot 3}{(x + 4) (x - 4) (x^{2} + 4 x + 4)}$

Paso 4.3

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 4.3.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x - 4) (x + 2) \cdot 3}{(x + 4) (x - 4) (x^{2} + 4 x + 2^{2})}$

Paso 4.3.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Paso 4.3.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{x^{2} (x - 4) (x + 2) \cdot 3}{(x + 4) (x - 4) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})}$

Paso 4.3.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{x^{2} (x - 4) (x + 2) \cdot 3}{(x + 4) (x - 4) {(x + 2)}^{2}}$

Paso 5

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.1

Cancela el factor común de $x - 4$ .

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Paso 5.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} (x - 4) (x + 2) \cdot 3}{(x + 4) (x - 4) {(x + 2)}^{2}}$

Paso 5.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x^{2} (x + 2)) \cdot 3}{(x + 4) {(x + 2)}^{2}}$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $x + 2$ y ${(x + 2)}^{2}$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $x + 2$ de $(x^{2} (x + 2)) \cdot 3$ .

$\frac{(x + 2) ((x^{2}) \cdot 3)}{(x + 4) {(x + 2)}^{2}}$

Paso 5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.2.1

Factoriza $x + 2$ de $(x + 4) {(x + 2)}^{2}$ .

$\frac{(x + 2) ((x^{2}) \cdot 3)}{(x + 2) ((x + 4) (x + 2))}$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 2) ((x^{2}) \cdot 3)}{(x + 2) ((x + 4) (x + 2))}$

Paso 5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(x^{2}) \cdot 3}{(x + 4) (x + 2)}$

Paso 5.3

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{(x + 4) (x + 2)}$