Matemática discreta Ejemplos

$\frac{{(1 + i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}} + \frac{2}{x + i y}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Reescribe ${(1 + i)}^{2}$ como $(1 + i) (1 + i)$ .

$\frac{(1 + i) (1 + i)}{{(1 - i)}^{2}} + \frac{2}{x + i y}$

Paso 1.2

Expande $(1 + i) (1 + i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 (1 + i) + i (1 + i)}{{(1 - i)}^{2}} + \frac{2}{x + i y}$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 i + i (1 + i)}{{(1 - i)}^{2}} + \frac{2}{x + i y}$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 i + i \cdot 1 + i i}{{(1 - i)}^{2}} + \frac{2}{x + i y}$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{1 + 1 i + i \cdot 1 + i i}{{(1 - i)}^{2}} + \frac{2}{x + i y}$

Paso 1.3.1.2

Multiplica $i$ por $1$ .

$\frac{1 + i + i \cdot 1 + i i}{{(1 - i)}^{2}} + \frac{2}{x + i y}$

Paso 1.3.1.3

Multiplica $i$ por $1$ .

$\frac{1 + i + i + i i}{{(1 - i)}^{2}} + \frac{2}{x + i y}$

Paso 1.3.1.4

Multiplica $i i$ .

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Paso 1.3.1.4.1

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 + i + i + i^{1} i}{{(1 - i)}^{2}} + \frac{2}{x + i y}$

Paso 1.3.1.4.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 + i + i + i^{1} i^{1}}{{(1 - i)}^{2}} + \frac{2}{x + i y}$

Paso 1.3.1.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1 + i + i + i^{1 + 1}}{{(1 - i)}^{2}} + \frac{2}{x + i y}$

Paso 1.3.1.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1 + i + i + i^{2}}{{(1 - i)}^{2}} + \frac{2}{x + i y}$

Paso 1.3.1.5

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{1 + i + i - 1}{{(1 - i)}^{2}} + \frac{2}{x + i y}$

Paso 1.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0 + i + i}{{(1 - i)}^{2}} + \frac{2}{x + i y}$

Paso 1.3.3

Suma $0$ y $i$ .

$\frac{i + i}{{(1 - i)}^{2}} + \frac{2}{x + i y}$

Paso 1.3.4

Suma $i$ y $i$ .

$\frac{2 i}{{(1 - i)}^{2}} + \frac{2}{x + i y}$

Paso 1.4

Reescribe ${(1 - i)}^{2}$ como $(1 - i) (1 - i)$ .

$\frac{2 i}{(1 - i) (1 - i)} + \frac{2}{x + i y}$

Paso 1.5

Expande $(1 - i) (1 - i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 i}{1 (1 - i) - i (1 - i)} + \frac{2}{x + i y}$

Paso 1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) - i (1 - i)} + \frac{2}{x + i y}$

Paso 1.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) - i \cdot 1 - i (- i)} + \frac{2}{x + i y}$

Paso 1.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.6.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{2 i}{1 + 1 (- i) - i \cdot 1 - i (- i)} + \frac{2}{x + i y}$

Paso 1.6.1.2

Multiplica $- i$ por $1$ .

$\frac{2 i}{1 - i - i \cdot 1 - i (- i)} + \frac{2}{x + i y}$

Paso 1.6.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 i}{1 - i - i - i (- i)} + \frac{2}{x + i y}$

Paso 1.6.1.4

Multiplica $- i (- i)$ .

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Paso 1.6.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 i}{1 - i - i + 1 i i} + \frac{2}{x + i y}$

Paso 1.6.1.4.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 i}{1 - i - i + 1 (i^{1} i)} + \frac{2}{x + i y}$

Paso 1.6.1.4.3

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 i}{1 - i - i + 1 (i^{1} i^{1})} + \frac{2}{x + i y}$

Paso 1.6.1.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 i}{1 - i - i + 1 i^{1 + 1}} + \frac{2}{x + i y}$

Paso 1.6.1.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 i}{1 - i - i + 1 i^{2}} + \frac{2}{x + i y}$

Paso 1.6.1.4.6

Multiplica $i^{2}$ por $1$ .

$\frac{2 i}{1 - i - i + i^{2}} + \frac{2}{x + i y}$

Paso 1.6.1.5

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{2 i}{1 - i - i - 1} + \frac{2}{x + i y}$

Paso 1.6.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{2 i}{0 - i - i} + \frac{2}{x + i y}$

Paso 1.6.3

Resta $i$ de $0$ .

$\frac{2 i}{- i - i} + \frac{2}{x + i y}$

Paso 1.6.4

Resta $i$ de $- i$ .

$\frac{2 i}{- 2 i} + \frac{2}{x + i y}$

Paso 1.7

Cancela el factor común de $2$ y $- 2$ .

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Paso 1.7.1

Factoriza $2$ de $2 i$ .

$\frac{2 (i)}{- 2 i} + \frac{2}{x + i y}$

Paso 1.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.7.2.1

Factoriza $2$ de $- 2 i$ .

$\frac{2 (i)}{2 (- i)} + \frac{2}{x + i y}$

Paso 1.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 i}{2 (- i)} + \frac{2}{x + i y}$

Paso 1.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{i}{- i} + \frac{2}{x + i y}$

Paso 1.8

Cancela el factor común de $i$ .

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Paso 1.8.1

Cancela el factor común.

$\frac{i}{- i} + \frac{2}{x + i y}$

Paso 1.8.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{- 1} + \frac{2}{x + i y}$

Paso 1.8.3

Mueve el negativo del denominador de $\frac{1}{- 1}$ .

$- 1 \cdot 1 + \frac{2}{x + i y}$

Paso 1.9

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1 + \frac{2}{x + i y}$

Paso 2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + i y}{x + i y}$ .

$- 1 \cdot \frac{x + i y}{x + i y} + \frac{2}{x + i y}$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Combina $- 1$ y $\frac{x + i y}{x + i y}$ .

$\frac{- (x + i y)}{x + i y} + \frac{2}{x + i y}$

Paso 3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- (x + i y) + 2}{x + i y}$

Paso 4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x - i y + 2}{x + i y}$

Paso 5

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 5.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{- (x) - i y + 2}{x + i y}$

Paso 5.2

Factoriza $- 1$ de $- i y$ .

$\frac{- (x) - (i y) + 2}{x + i y}$

Paso 5.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - (i y)$ .

$\frac{- (x + i y) + 2}{x + i y}$

Paso 5.4

Reescribe $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- (x + i y) - 1 (- 2)}{x + i y}$

Paso 5.5

Factoriza $- 1$ de $- (x + i y) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- (x + i y - 2)}{x + i y}$

Paso 5.6

Simplifica la expresión.

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Paso 5.6.1

Reescribe $- (x + i y - 2)$ como $- 1 (x + i y - 2)$ .

$\frac{- 1 (x + i y - 2)}{x + i y}$

Paso 5.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x + i y - 2}{x + i y}$

Paso 6

Divide la fracción $\frac{x + i y - 2}{x + i y}$ en dos fracciones.

$- (\frac{x + i y}{x + i y} + \frac{- 2}{x + i y})$

Paso 7

Divide la fracción $\frac{x + i y}{x + i y}$ en dos fracciones.

$- (\frac{x}{x + i y} + \frac{i y}{x + i y} + \frac{- 2}{x + i y})$

Paso 8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- (\frac{x}{x + i y} + \frac{i y}{x + i y} - \frac{2}{x + i y})$