Matemática discreta Ejemplos

$\frac{9 x^{2} + 58 x - 35}{7 x - 35} \cdot \frac{x^{2} - 5 x}{81 x^{2} - 25} \div \frac{5 x + 35}{3 x^{3}}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{9 x^{2} + 58 x - 35}{7 x - 35} \cdot \frac{x^{2} - 5 x}{81 x^{2} - 25} \frac{3 x^{3}}{5 x + 35}$

Paso 2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 9 \cdot - 35 = - 315$ y cuya suma es $b = 58$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $58$ de $58 x$ .

$\frac{9 x^{2} + 58 (x) - 35}{7 x - 35} \cdot \frac{x^{2} - 5 x}{81 x^{2} - 25} \frac{3 x^{3}}{5 x + 35}$

Paso 2.1.2

Reescribe $58$ como $- 5$ más $63$

$\frac{9 x^{2} + (- 5 + 63) x - 35}{7 x - 35} \cdot \frac{x^{2} - 5 x}{81 x^{2} - 25} \frac{3 x^{3}}{5 x + 35}$

Paso 2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{9 x^{2} - 5 x + 63 x - 35}{7 x - 35} \cdot \frac{x^{2} - 5 x}{81 x^{2} - 25} \frac{3 x^{3}}{5 x + 35}$

Paso 2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(9 x^{2} - 5 x) + 63 x - 35}{7 x - 35} \cdot \frac{x^{2} - 5 x}{81 x^{2} - 25} \frac{3 x^{3}}{5 x + 35}$

Paso 2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (9 x - 5) + 7 (9 x - 5)}{7 x - 35} \cdot \frac{x^{2} - 5 x}{81 x^{2} - 25} \frac{3 x^{3}}{5 x + 35}$

Paso 2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $9 x - 5$ .

$\frac{(9 x - 5) (x + 7)}{7 x - 35} \cdot \frac{x^{2} - 5 x}{81 x^{2} - 25} \frac{3 x^{3}}{5 x + 35}$

Paso 3

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 3.1

Factoriza $7$ de $7 x - 35$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $7$ de $7 x$ .

$\frac{(9 x - 5) (x + 7)}{7 (x) - 35} \cdot \frac{x^{2} - 5 x}{81 x^{2} - 25} \frac{3 x^{3}}{5 x + 35}$

Paso 3.1.2

Factoriza $7$ de $- 35$ .

$\frac{(9 x - 5) (x + 7)}{7 x + 7 \cdot - 5} \cdot \frac{x^{2} - 5 x}{81 x^{2} - 25} \frac{3 x^{3}}{5 x + 35}$

Paso 3.1.3

Factoriza $7$ de $7 x + 7 \cdot - 5$ .

$\frac{(9 x - 5) (x + 7)}{7 (x - 5)} \cdot \frac{x^{2} - 5 x}{81 x^{2} - 25} \frac{3 x^{3}}{5 x + 35}$

Paso 3.2

Factoriza $x$ de $x^{2} - 5 x$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{(9 x - 5) (x + 7)}{7 (x - 5)} \cdot \frac{x \cdot x - 5 x}{81 x^{2} - 25} \frac{3 x^{3}}{5 x + 35}$

Paso 3.2.2

Factoriza $x$ de $- 5 x$ .

$\frac{(9 x - 5) (x + 7)}{7 (x - 5)} \cdot \frac{x \cdot x + x \cdot - 5}{81 x^{2} - 25} \frac{3 x^{3}}{5 x + 35}$

Paso 3.2.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 5$ .

$\frac{(9 x - 5) (x + 7)}{7 (x - 5)} \cdot \frac{x (x - 5)}{81 x^{2} - 25} \frac{3 x^{3}}{5 x + 35}$

Paso 4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1

Reescribe $81 x^{2}$ como ${(9 x)}^{2}$ .

$\frac{(9 x - 5) (x + 7)}{7 (x - 5)} \cdot \frac{x (x - 5)}{{(9 x)}^{2} - 25} \frac{3 x^{3}}{5 x + 35}$

Paso 4.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{(9 x - 5) (x + 7)}{7 (x - 5)} \cdot \frac{x (x - 5)}{{(9 x)}^{2} - 5^{2}} \frac{3 x^{3}}{5 x + 35}$

Paso 4.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 9 x$ y $b = 5$ .

$\frac{(9 x - 5) (x + 7)}{7 (x - 5)} \cdot \frac{x (x - 5)}{(9 x + 5) (9 x - 5)} \frac{3 x^{3}}{5 x + 35}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Cancela el factor común de $9 x - 5$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $9 x - 5$ de $(9 x + 5) (9 x - 5)$ .

$\frac{(9 x - 5) (x + 7)}{7 (x - 5)} \cdot \frac{x (x - 5)}{(9 x - 5) (9 x + 5)} \frac{3 x^{3}}{5 x + 35}$

Paso 5.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{(9 x - 5) (x + 7)}{7 (x - 5)} \cdot \frac{x (x - 5)}{(9 x - 5) (9 x + 5)} \frac{3 x^{3}}{5 x + 35}$

Paso 5.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x + 7}{7 (x - 5)} \cdot \frac{x (x - 5)}{9 x + 5} \frac{3 x^{3}}{5 x + 35}$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $x - 5$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $x - 5$ de $7 (x - 5)$ .

$\frac{x + 7}{(x - 5) \cdot 7} \cdot \frac{x (x - 5)}{9 x + 5} \frac{3 x^{3}}{5 x + 35}$

Paso 5.2.2

Factoriza $x - 5$ de $x (x - 5)$ .

$\frac{x + 7}{(x - 5) \cdot 7} \cdot \frac{(x - 5) x}{9 x + 5} \frac{3 x^{3}}{5 x + 35}$

Paso 5.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{x + 7}{(x - 5) \cdot 7} \cdot \frac{(x - 5) x}{9 x + 5} \frac{3 x^{3}}{5 x + 35}$

Paso 5.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{x + 7}{7} \cdot \frac{x}{9 x + 5} \frac{3 x^{3}}{5 x + 35}$

Paso 5.3

Multiplica $\frac{x + 7}{7}$ por $\frac{x}{9 x + 5}$ .

$\frac{(x + 7) x}{7 (9 x + 5)} \cdot \frac{3 x^{3}}{5 x + 35}$

Paso 5.4

Factoriza $5$ de $5 x + 35$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $5$ de $5 x$ .

$\frac{(x + 7) x}{7 (9 x + 5)} \cdot \frac{3 x^{3}}{5 (x) + 35}$

Paso 5.4.2

Factoriza $5$ de $35$ .

$\frac{(x + 7) x}{7 (9 x + 5)} \cdot \frac{3 x^{3}}{5 x + 5 \cdot 7}$

Paso 5.4.3

Factoriza $5$ de $5 x + 5 \cdot 7$ .

$\frac{(x + 7) x}{7 (9 x + 5)} \cdot \frac{3 x^{3}}{5 (x + 7)}$

Paso 5.5

Combinar.

$\frac{(x + 7) x (3 x^{3})}{7 (9 x + 5) (5 (x + 7))}$

Paso 6

Multiplica $x$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1

Mueve $x^{3}$ .

$\frac{(x + 7) (x^{3} x) \cdot 3}{7 (9 x + 5) (5 (x + 7))}$

Paso 6.2

Multiplica $x^{3}$ por $x$ .

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Paso 6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(x + 7) (x^{3} x^{1}) \cdot 3}{7 (9 x + 5) (5 (x + 7))}$

Paso 6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(x + 7) x^{3 + 1} \cdot 3}{7 (9 x + 5) (5 (x + 7))}$

Paso 6.3

Suma $3$ y $1$ .

$\frac{(x + 7) x^{4} \cdot 3}{7 (9 x + 5) (5 (x + 7))}$

Paso 7

Cancela el factor común de $x + 7$ .

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Paso 7.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 7) x^{4} \cdot 3}{7 (9 x + 5) (5 (x + 7))}$

Paso 7.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{4} \cdot 3}{7 (9 x + 5) \cdot (5)}$

Paso 8

Simplifica la expresión.

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Paso 8.1

Multiplica $5$ por $7$ .

$\frac{x^{4} \cdot 3}{35 (9 x + 5)}$

Paso 8.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{4}$ .

$\frac{3 x^{4}}{35 (9 x + 5)}$