Matemática discreta Ejemplos

$\frac{8}{x^{2} - 13 x - 30} - \frac{3}{x + 2}$

Paso 1

Factoriza $x^{2} - 13 x - 30$ con el método AC.

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Paso 1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 30$ y cuya suma es $- 13$ .

$- 15, 2$

Paso 1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{8}{(x - 15) (x + 2)} - \frac{3}{x + 2}$

Paso 2

Para escribir $- \frac{3}{x + 2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 15}{x - 15}$ .

$\frac{8}{(x - 15) (x + 2)} - \frac{3}{x + 2} \cdot \frac{x - 15}{x - 15}$

Paso 3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x - 15) (x + 2)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{3}{x + 2}$ por $\frac{x - 15}{x - 15}$ .

$\frac{8}{(x - 15) (x + 2)} - \frac{3 (x - 15)}{(x + 2) (x - 15)}$

Paso 3.2

Reordena los factores de $(x - 15) (x + 2)$ .

$\frac{8}{(x + 2) (x - 15)} - \frac{3 (x - 15)}{(x + 2) (x - 15)}$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{8 - 3 (x - 15)}{(x + 2) (x - 15)}$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 - 3 x - 3 \cdot - 15}{(x + 2) (x - 15)}$

Paso 5.2

Multiplica $- 3$ por $- 15$ .

$\frac{8 - 3 x + 45}{(x + 2) (x - 15)}$

Paso 5.3

Suma $8$ y $45$ .

$\frac{- 3 x + 53}{(x + 2) (x - 15)}$

Paso 6

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 6.1

Factoriza $- 1$ de $- 3 x$ .

$\frac{- (3 x) + 53}{(x + 2) (x - 15)}$

Paso 6.2

Reescribe $53$ como $- 1 (- 53)$ .

$\frac{- (3 x) - 1 (- 53)}{(x + 2) (x - 15)}$

Paso 6.3

Factoriza $- 1$ de $- (3 x) - 1 (- 53)$ .

$\frac{- (3 x - 53)}{(x + 2) (x - 15)}$

Paso 6.4

Simplifica la expresión.

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Paso 6.4.1

Reescribe $- (3 x - 53)$ como $- 1 (3 x - 53)$ .

$\frac{- 1 (3 x - 53)}{(x + 2) (x - 15)}$

Paso 6.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3 x - 53}{(x + 2) (x - 15)}$