Matemática discreta Ejemplos

$\frac{6}{50 + 23 x^{2} - x^{4}} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.1.1.1

Reordena los términos.

$\frac{6}{- x^{4} + 23 x^{2} + 50} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

Paso 1.1.1.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 50 = - 50$ y cuya suma es $b = 23$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Factoriza $23$ de $23 x^{2}$ .

$\frac{6}{- x^{4} + 23 (x^{2}) + 50} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

Paso 1.1.1.2.2

Reescribe $23$ como $- 2$ más $25$

$\frac{6}{- x^{4} + (- 2 + 25) x^{2} + 50} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

Paso 1.1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6}{- x^{4} - 2 x^{2} + 25 x^{2} + 50} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

Paso 1.1.1.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.1.1.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{6}{(- x^{4} - 2 x^{2}) + 25 x^{2} + 50} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

Paso 1.1.1.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{6}{x^{2} (- x^{2} - 2) - 25 (- x^{2} - 2)} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

Paso 1.1.1.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x^{2} - 2$ .

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x^{2} - 25)} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

Paso 1.1.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x^{2} - 5^{2})} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

Paso 1.1.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 5$ .

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

Paso 1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.2.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{(x^{3} - 5 x^{2}) + 2 x - 10}$

Paso 1.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{x^{2} (x - 5) + 2 (x - 5)}$

Paso 1.2.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x - 5$ .

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{(x - 5) (x^{2} + 2)}$

Paso 2

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.1

Factoriza $- 1$ de $x^{2}$ .

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2}) + 2)}$

Paso 2.2

Reescribe $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2}) - 1 (- 2))}$

Paso 2.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- x^{2}) - 1 (- 2)$ .

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2))}$

Paso 3

Para escribir $\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2))}$

Paso 4

Para escribir $- \frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2))}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2))} \cdot \frac{x + 5}{x + 5}$

Paso 5

Escribe cada expresión con un denominador común de $(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5) \cdot - 1$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.1

Multiplica $\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}$ por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{6 \cdot - 1}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5) \cdot - 1} - \frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2))} \cdot \frac{x + 5}{x + 5}$

Paso 5.2

Multiplica $\frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2))}$ por $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{6 \cdot - 1}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5) \cdot - 1} - \frac{3 (x + 5)}{(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2)) (x + 5)}$

Paso 5.3

Reordena los factores de $(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5) \cdot - 1$ .

$\frac{6 \cdot - 1}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3 (x + 5)}{(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2)) (x + 5)}$

Paso 5.4

Reordena los factores de $(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2)) (x + 5)$ .

$\frac{6 \cdot - 1}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3 (x + 5)}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{6 \cdot - 1 - 3 (x + 5)}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Factoriza $- 3$ de $6 \cdot - 1 - 3 (x + 5)$ .

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Paso 7.1.1

Reordena $6 \cdot - 1$ y $- 3 (x + 5)$ .

$\frac{- 3 (x + 5) + 6 \cdot - 1}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}$

Paso 7.1.2

Factoriza $- 3$ de $6 \cdot - 1$ .

$\frac{- 3 (x + 5) - 3 (- 2 \cdot - 1)}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}$

Paso 7.1.3

Factoriza $- 3$ de $- 3 (x + 5) - 3 (- 2 \cdot - 1)$ .

$\frac{- 3 (x + 5 - 2 \cdot - 1)}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}$

Paso 7.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{- 3 (x + 5 + 2)}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}$

Paso 7.3

Suma $5$ y $2$ .

$\frac{- 3 (x + 7)}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}$

Paso 8

Simplifica los términos.

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Paso 8.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{3 (x + 7)}{((- x^{2} - 2) (x + 5)) (x - 5)}$

Paso 8.2

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{3 (x + 7)}{(- (x^{2}) - 2) (x + 5) (x - 5)}$

Paso 8.3

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$\frac{3 (x + 7)}{(- (x^{2}) - 1 (2)) (x + 5) (x - 5)}$

Paso 8.4

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - 1 (2)$ .

$\frac{3 (x + 7)}{- (x^{2} + 2) (x + 5) (x - 5)}$

Paso 8.5

Reescribe los negativos.

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Paso 8.5.1

Reescribe $- (x^{2} + 2)$ como $- 1 (x^{2} + 2)$ .

$\frac{3 (x + 7)}{- 1 (x^{2} + 2) (x + 5) (x - 5)}$

Paso 8.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3 (x + 7)}{((x^{2} + 2) (x + 5)) (x - 5)}$