Matemática discreta Ejemplos

$\frac{4 a}{a - 2} - \frac{3 a}{a - 3} + \frac{4 a}{a^{2} - 5 a + 6}$

Paso 1

Factoriza $a^{2} - 5 a + 6$ con el método AC.

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Paso 1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $6$ y cuya suma es $- 5$ .

$- 3, - 2$

Paso 1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{4 a}{a - 2} - \frac{3 a}{a - 3} + \frac{4 a}{(a - 3) (a - 2)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{4 a}{a - 2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{a - 3}{a - 3}$ .

$\frac{4 a}{a - 2} \cdot \frac{a - 3}{a - 3} - \frac{3 a}{a - 3} + \frac{4 a}{(a - 3) (a - 2)}$

Paso 3

Para escribir $- \frac{3 a}{a - 3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{a - 2}{a - 2}$ .

$\frac{4 a}{a - 2} \cdot \frac{a - 3}{a - 3} - \frac{3 a}{a - 3} \cdot \frac{a - 2}{a - 2} + \frac{4 a}{(a - 3) (a - 2)}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(a - 2) (a - 3)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{4 a}{a - 2}$ por $\frac{a - 3}{a - 3}$ .

$\frac{4 a (a - 3)}{(a - 2) (a - 3)} - \frac{3 a}{a - 3} \cdot \frac{a - 2}{a - 2} + \frac{4 a}{(a - 3) (a - 2)}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{3 a}{a - 3}$ por $\frac{a - 2}{a - 2}$ .

$\frac{4 a (a - 3)}{(a - 2) (a - 3)} - \frac{3 a (a - 2)}{(a - 3) (a - 2)} + \frac{4 a}{(a - 3) (a - 2)}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(a - 3) (a - 2)$ .

$\frac{4 a (a - 3)}{(a - 2) (a - 3)} - \frac{3 a (a - 2)}{(a - 2) (a - 3)} + \frac{4 a}{(a - 3) (a - 2)}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 a (a - 3) - 3 a (a - 2)}{(a - 2) (a - 3)} + \frac{4 a}{(a - 3) (a - 2)}$

Paso 5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 a (a - 3) - 3 a (a - 2) + 4 a}{(a - 2) (a - 3)}$

Paso 6

Simplifica cada término.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 a \cdot a + 4 a \cdot - 3 - 3 a (a - 2) + 4 a}{(a - 2) (a - 3)}$

Paso 6.2

Multiplica $a$ por $a$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.1

Mueve $a$ .

$\frac{4 (a \cdot a) + 4 a \cdot - 3 - 3 a (a - 2) + 4 a}{(a - 2) (a - 3)}$

Paso 6.2.2

Multiplica $a$ por $a$ .

$\frac{4 a^{2} + 4 a \cdot - 3 - 3 a (a - 2) + 4 a}{(a - 2) (a - 3)}$

Paso 6.3

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$\frac{4 a^{2} - 12 a - 3 a (a - 2) + 4 a}{(a - 2) (a - 3)}$

Paso 6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 a^{2} - 12 a - 3 a \cdot a - 3 a \cdot - 2 + 4 a}{(a - 2) (a - 3)}$

Paso 6.5

Multiplica $a$ por $a$ sumando los exponentes.

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Paso 6.5.1

Mueve $a$ .

$\frac{4 a^{2} - 12 a - 3 (a \cdot a) - 3 a \cdot - 2 + 4 a}{(a - 2) (a - 3)}$

Paso 6.5.2

Multiplica $a$ por $a$ .

$\frac{4 a^{2} - 12 a - 3 a^{2} - 3 a \cdot - 2 + 4 a}{(a - 2) (a - 3)}$

Paso 6.6

Multiplica $- 2$ por $- 3$ .

$\frac{4 a^{2} - 12 a - 3 a^{2} + 6 a + 4 a}{(a - 2) (a - 3)}$

Paso 7

Simplifica los términos.

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Paso 7.1

Resta $3 a^{2}$ de $4 a^{2}$ .

$\frac{a^{2} - 12 a + 6 a + 4 a}{(a - 2) (a - 3)}$

Paso 7.2

Suma $- 12 a$ y $6 a$ .

$\frac{a^{2} - 6 a + 4 a}{(a - 2) (a - 3)}$

Paso 7.3

Suma $- 6 a$ y $4 a$ .

$\frac{a^{2} - 2 a}{(a - 2) (a - 3)}$

Paso 7.4

Factoriza $a$ de $a^{2} - 2 a$ .

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Paso 7.4.1

Factoriza $a$ de $a^{2}$ .

$\frac{a \cdot a - 2 a}{(a - 2) (a - 3)}$

Paso 7.4.2

Factoriza $a$ de $- 2 a$ .

$\frac{a \cdot a + a \cdot - 2}{(a - 2) (a - 3)}$

Paso 7.4.3

Factoriza $a$ de $a \cdot a + a \cdot - 2$ .

$\frac{a (a - 2)}{(a - 2) (a - 3)}$

Paso 7.5

Cancela el factor común de $a - 2$ .

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Paso 7.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{a (a - 2)}{(a - 2) (a - 3)}$

Paso 7.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{a}{a - 3}$