Matemática discreta Ejemplos

$\frac{3 x^{3} - 81}{4 x^{2} + 8 x - 60} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Paso 1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1

Factoriza $3$ de $3 x^{3} - 81$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $3$ de $3 x^{3}$ .

$\frac{3 (x^{3}) - 81}{4 x^{2} + 8 x - 60} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Paso 1.1.2

Factoriza $3$ de $- 81$ .

$\frac{3 x^{3} + 3 \cdot - 27}{4 x^{2} + 8 x - 60} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Paso 1.1.3

Factoriza $3$ de $3 x^{3} + 3 \cdot - 27$ .

$\frac{3 (x^{3} - 27)}{4 x^{2} + 8 x - 60} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Paso 1.2

Reescribe $27$ como $3^{3}$ .

$\frac{3 (x^{3} - 3^{3})}{4 x^{2} + 8 x - 60} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Paso 1.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$\frac{3 ((x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2}))}{4 x^{2} + 8 x - 60} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{3 ((x - 3) (x^{2} + 3 \cdot x + 3^{2}))}{4 x^{2} + 8 x - 60} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Paso 1.4.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{3 ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9))}{4 x^{2} + 8 x - 60} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 x^{2} + 8 x - 60} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Paso 2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1

Factoriza $4$ de $4 x^{2} + 8 x - 60$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $4$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x^{2}) + 8 x - 60} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Paso 2.1.2

Factoriza $4$ de $8 x$ .

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x^{2}) + 4 (2 x) - 60} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Paso 2.1.3

Factoriza $4$ de $- 60$ .

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 x^{2} + 4 (2 x) + 4 \cdot - 15} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Paso 2.1.4

Factoriza $4$ de $4 x^{2} + 4 (2 x)$ .

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x^{2} + 2 x) + 4 \cdot - 15} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Paso 2.1.5

Factoriza $4$ de $4 (x^{2} + 2 x) + 4 \cdot - 15$ .

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x^{2} + 2 x - 15)} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Paso 2.2

Factoriza $x^{2} + 2 x - 15$ con el método AC.

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Paso 2.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 15$ y cuya suma es $2$ .

$- 3, 5$

Paso 2.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 ((x - 3) (x + 5))} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Factoriza $8$ de $8 x + 16$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $8$ de $8 x$ .

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{8 (x) + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Paso 3.1.2

Factoriza $8$ de $16$ .

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{8 x + 8 \cdot 2}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Paso 3.1.3

Factoriza $8$ de $8 x + 8 \cdot 2$ .

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{8 (x + 2)}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Paso 3.2

Factoriza $6$ de $6 x^{2} + 18 x + 54$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $6$ de $6 x^{2}$ .

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{8 (x + 2)}{6 (x^{2}) + 18 x + 54}$

Paso 3.2.2

Factoriza $6$ de $18 x$ .

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{8 (x + 2)}{6 (x^{2}) + 6 (3 x) + 54}$

Paso 3.2.3

Factoriza $6$ de $54$ .

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{8 (x + 2)}{6 x^{2} + 6 (3 x) + 6 \cdot 9}$

Paso 3.2.4

Factoriza $6$ de $6 x^{2} + 6 (3 x)$ .

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{8 (x + 2)}{6 (x^{2} + 3 x) + 6 \cdot 9}$

Paso 3.2.5

Factoriza $6$ de $6 (x^{2} + 3 x) + 6 \cdot 9$ .

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{8 (x + 2)}{6 (x^{2} + 3 x + 9)}$

Paso 3.3

Combinar.

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) (8 (x + 2))}{4 (x - 3) (x + 5) (6 (x^{2} + 3 x + 9))}$

Paso 3.4

Cancela el factor común de $3$ y $6$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza $3$ de $3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) (8 (x + 2))$ .

$\frac{3 (((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)) (8 (x + 2)))}{4 (x - 3) (x + 5) (6 (x^{2} + 3 x + 9))}$

Paso 3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.2.1

Factoriza $3$ de $4 (x - 3) (x + 5) (6 (x^{2} + 3 x + 9))$ .

$\frac{3 (((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)) (8 (x + 2)))}{3 (4 (x - 3) (x + 5) (2 (x^{2} + 3 x + 9)))}$

Paso 3.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)) (8 (x + 2)))}{3 (4 (x - 3) (x + 5) (2 (x^{2} + 3 x + 9)))}$

Paso 3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)) (8 (x + 2))}{4 (x - 3) (x + 5) (2 (x^{2} + 3 x + 9))}$

Paso 3.5

Cancela el factor común de $x - 3$ .

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Paso 3.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) (8 (x + 2))}{4 (x - 3) (x + 5) (2 (x^{2} + 3 x + 9))}$

Paso 3.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x^{2} + 3 x + 9) (8 (x + 2))}{(4 (x + 5)) (2 (x^{2} + 3 x + 9))}$

Paso 3.6

Cancela el factor común de $x^{2} + 3 x + 9$ .

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Paso 3.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x^{2} + 3 x + 9) (8 (x + 2))}{4 (x + 5) (2 (x^{2} + 3 x + 9))}$

Paso 3.6.2

Reescribe la expresión.

$\frac{8 (x + 2)}{(4 (x + 5)) \cdot (2)}$

Paso 3.7

Cancela el factor común de $8$ y $4$ .

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Paso 3.7.1

Factoriza $4$ de $8 (x + 2)$ .

$\frac{4 (2 (x + 2))}{(4 (x + 5)) \cdot (2)}$

Paso 3.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.7.2.1

Factoriza $4$ de $(4 (x + 5)) \cdot (2)$ .

$\frac{4 (2 (x + 2))}{4 ((x + 5) \cdot (2))}$

Paso 3.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 (2 (x + 2))}{4 ((x + 5) \cdot (2))}$

Paso 3.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 (x + 2)}{(x + 5) \cdot (2)}$

Paso 3.8

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.8.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (x + 2)}{(x + 5) \cdot 2}$

Paso 3.8.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x + 2}{x + 5}$