Matemática discreta Ejemplos

$2 y^{2} + (2 k - 3) y - 5 = 0$

Paso 1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y^{2} + 2 k y - 3 y - 5 = 0$

Paso 2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3

Sustituye los valores $a = 2$ , $b = 2 k - 3$ y $c = - 5$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{- (2 k - 3) \pm \sqrt{{(2 k - 3)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 5)}}{2 \cdot 2}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- (2 k) + 3 \pm \sqrt{{(2 k - 3)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.1.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 2 k + 3 \pm \sqrt{{(2 k - 3)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$y = \frac{- 2 k + 3 \pm \sqrt{{(2 k - 3)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.1.4

Reescribe ${(2 k - 3)}^{2}$ como $(2 k - 3) (2 k - 3)$ .

$y = \frac{- 2 k + 3 \pm \sqrt{(2 k - 3) (2 k - 3) - 4 \cdot 2 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.1.5

Expande $(2 k - 3) (2 k - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 2 k + 3 \pm \sqrt{2 k (2 k - 3) - 3 (2 k - 3) - 4 \cdot 2 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 2 k + 3 \pm \sqrt{2 k (2 k) + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k - 3) - 4 \cdot 2 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.1.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 2 k + 3 \pm \sqrt{2 k (2 k) + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3 - 4 \cdot 2 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.1.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.1.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.6.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{- 2 k + 3 \pm \sqrt{2 \cdot (2 k \cdot k) + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3 - 4 \cdot 2 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.1.6.1.2

Multiplica $k$ por $k$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.6.1.2.1

Mueve $k$ .

$y = \frac{- 2 k + 3 \pm \sqrt{2 \cdot (2 (k \cdot k)) + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3 - 4 \cdot 2 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.1.6.1.2.2

Multiplica $k$ por $k$ .

$y = \frac{- 2 k + 3 \pm \sqrt{2 \cdot (2 k^{2}) + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3 - 4 \cdot 2 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.1.6.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{- 2 k + 3 \pm \sqrt{4 k^{2} + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3 - 4 \cdot 2 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.1.6.1.4

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$y = \frac{- 2 k + 3 \pm \sqrt{4 k^{2} - 6 k - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3 - 4 \cdot 2 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.1.6.1.5

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$y = \frac{- 2 k + 3 \pm \sqrt{4 k^{2} - 6 k - 6 k - 3 \cdot - 3 - 4 \cdot 2 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.1.6.1.6

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$y = \frac{- 2 k + 3 \pm \sqrt{4 k^{2} - 6 k - 6 k + 9 - 4 \cdot 2 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.1.6.2

Resta $6 k$ de $- 6 k$ .

$y = \frac{- 2 k + 3 \pm \sqrt{4 k^{2} - 12 k + 9 - 4 \cdot 2 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.1.7

Multiplica $- 4 \cdot 2 \cdot - 5$ .

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Paso 4.1.7.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$y = \frac{- 2 k + 3 \pm \sqrt{4 k^{2} - 12 k + 9 - 8 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.1.7.2

Multiplica $- 8$ por $- 5$ .

$y = \frac{- 2 k + 3 \pm \sqrt{4 k^{2} - 12 k + 9 + 40}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.1.8

Suma $9$ y $40$ .

$y = \frac{- 2 k + 3 \pm \sqrt{4 k^{2} - 12 k + 49}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{- 2 k + 3 \pm \sqrt{4 k^{2} - 12 k + 49}}{4}$

Paso 5

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = - \frac{2 k - 3 - \sqrt{4 k^{2} - 12 k + 49}}{4}$

$y = - \frac{2 k - 3 + \sqrt{4 k^{2} - 12 k + 49}}{4}$