Matemática discreta Ejemplos

x + 2 > \sqrt{10 - x^{2}}

$x + 2 > \sqrt{10 - x^{2}}$

Paso 1

Como el radical está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

\sqrt{10 - x^{2}} < x + 2

$\sqrt{10 - x^{2}} < x + 2$

Paso 2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

{\sqrt{10 - x^{2}}}^{2} < {(x + 2)}^{2}

${\sqrt{10 - x^{2}}}^{2} < {(x + 2)}^{2}$

Paso 3

Simplifica cada lado de la desigualdad.

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Paso 3.1

Usa

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

\sqrt{10 - x^{2}}

$\sqrt{10 - x^{2}}$ como

{(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}

${(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

{({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} < {(x + 2)}^{2}

${({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} < {(x + 2)}^{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica

{({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}

${({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Multiplica los exponentes en

{({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}

${({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

{(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {(x + 2)}^{2}

${(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {(x + 2)}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de

2

$2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {(x + 2)}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(10 - x^{2})}^{1} < {(x + 2)}^{2}$

Paso 3.2.1.2

Simplifica.

$10 - x^{2} < {(x + 2)}^{2}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica

${(x + 2)}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe

${(x + 2)}^{2}$ como

$(x + 2) (x + 2)$ .

$10 - x^{2} < (x + 2) (x + 2)$

Paso 3.3.1.2

Expande

$(x + 2) (x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$10 - x^{2} < x (x + 2) + 2 (x + 2)$

Paso 3.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$10 - x^{2} < x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)$

Paso 3.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$10 - x^{2} < x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Paso 3.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.3.1.1

Multiplica

$x$ por

$x$ .

$10 - x^{2} < x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Paso 3.3.1.3.1.2

Mueve

$2$ a la izquierda de

$x$ .

$10 - x^{2} < x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2$

Paso 3.3.1.3.1.3

Multiplica

$2$ por

$2$ .

$10 - x^{2} < x^{2} + 2 x + 2 x + 4$

Paso 3.3.1.3.2

Suma

$2 x$ y

$2 x$ .

$10 - x^{2} < x^{2} + 4 x + 4$

Paso 4

Resuelve

$x$

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Paso 4.1

Reescribe para que

$x$ quede en el lado izquierdo de la desigualdad.

$x^{2} + 4 x + 4 > 10 - x^{2}$

Paso 4.2

Mueve todos los términos que contengan

$x$ al lado izquierdo de la desigualdad.

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Paso 4.2.1

Suma

$x^{2}$ a ambos lados de la desigualdad.

$x^{2} + 4 x + 4 + x^{2} > 10$

Paso 4.2.2

Suma

$x^{2}$ y

$x^{2}$ .

$2 x^{2} + 4 x + 4 > 10$

Paso 4.3

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$2 x^{2} + 4 x + 4 = 10$

Paso 4.4

Resta

$10$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} + 4 x + 4 - 10 = 0$

Paso 4.5

Resta

$10$ de

$4$ .

$2 x^{2} + 4 x - 6 = 0$

Paso 4.6

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.6.1

Factoriza

$2$ de

$2 x^{2} + 4 x - 6$ .

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Paso 4.6.1.1

Factoriza

$2$ de

$2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) + 4 x - 6 = 0$

Paso 4.6.1.2

Factoriza

$2$ de

$4 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (2 x) - 6 = 0$

Paso 4.6.1.3

Factoriza

$2$ de

$- 6$ .

$2 x^{2} + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3 = 0$

Paso 4.6.1.4

Factoriza

$2$ de

$2 x^{2} + 2 (2 x)$ .

$2 (x^{2} + 2 x) + 2 \cdot - 3 = 0$

Paso 4.6.1.5

Factoriza

$2$ de

$2 (x^{2} + 2 x) + 2 \cdot - 3$ .

$2 (x^{2} + 2 x - 3) = 0$

Paso 4.6.2

Factoriza.

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Paso 4.6.2.1

Factoriza

$x^{2} + 2 x - 3$ con el método AC.

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Paso 4.6.2.1.1

Considera la forma

$x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea

$c$ y cuya suma sea

$b$ . En este caso, cuyo producto es

$- 3$ y cuya suma es

$2$ .

$- 1, 3$

Paso 4.6.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$2 ((x - 1) (x + 3)) = 0$

Paso 4.6.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (x - 1) (x + 3) = 0$

Paso 4.7

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a

$0$ , la expresión completa será igual a

$0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Paso 4.8

Establece

$x - 1$ igual a

$0$ y resuelve

$x$ .

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Paso 4.8.1

Establece

$x - 1$ igual a

$0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 4.8.2

Suma

$1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 4.9

Establece

$x + 3$ igual a

$0$ y resuelve

$x$ .

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Paso 4.9.1

Establece

$x + 3$ igual a

$0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 4.9.2

Resta

$3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 4.10

La solución final comprende todos los valores que hacen

$2 (x - 1) (x + 3) = 0$ verdadera.

$x = 1, - 3$

Paso 5

Obtén el dominio de

$x + 2 - \sqrt{10 - x^{2}}$ .

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Paso 5.1

Establece el radicando en

$\sqrt{10 - x^{2}}$ mayor o igual que

$0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$10 - x^{2} \geq 0$

Paso 5.2

Resuelve

$x$

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Paso 5.2.1

Resta

$10$ de ambos lados de la desigualdad.

$- x^{2} \geq - 10$

Paso 5.2.2

Divide cada término en

$- x^{2} \geq - 10$ por

$- 1$ y simplifica.

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Paso 5.2.2.1

Divide cada término de

$- x^{2} \geq - 10$ por

$- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Paso 5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Paso 5.2.2.2.2

Divide

$x^{2}$ por

$1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Paso 5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.3.1

Divide

$- 10$ por

$- 1$ .

$x^{2} \leq 10$

Paso 5.2.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{10}$

Paso 5.2.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.4.1

Retira los términos de abajo del radical.

$| x | \leq \sqrt{10}$

Paso 5.2.5

Escribe

$| x | \leq \sqrt{10}$ como una función definida por partes.

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Paso 5.2.5.1

Para obtener el intervalo de la primera parte, obtén dónde el interior del valor absoluto no es negativo.

$x \geq 0$

Paso 5.2.5.2

En la parte donde

$x$ no es negativa, elimina el valor absoluto.

$x \leq \sqrt{10}$

Paso 5.2.5.3

Para obtener el intervalo de la segunda parte, obtén dónde el interior del valor absoluto es negativo.

$x < 0$

Paso 5.2.5.4

En la parte donde

$x$ es negativa, elimina el valor absoluto y multiplica por

$- 1$ .

$- x \leq \sqrt{10}$

Paso 5.2.5.5

Escribe como una función definida por partes.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{10} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{10} & x < 0 \end{cases}$

Paso 5.2.6

Obtén la intersección de

$x \leq \sqrt{10}$ y

$x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{10}$

Paso 5.2.7

Resuelve

$- x \leq \sqrt{10}$ cuando

$x < 0$ .

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Paso 5.2.7.1

Divide cada término en

$- x \leq \sqrt{10}$ por

$- 1$ y simplifica.

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Paso 5.2.7.1.1

Divide cada término de

$- x \leq \sqrt{10}$ por

$- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Paso 5.2.7.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.7.1.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Paso 5.2.7.1.2.2

Divide

$x$ por

$1$ .

$x \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Paso 5.2.7.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.7.1.3.1

Mueve el negativo del denominador de

$\frac{\sqrt{10}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{10}$

Paso 5.2.7.1.3.2

Reescribe

$- 1 \cdot \sqrt{10}$ como

$- \sqrt{10}$ .

$x \geq - \sqrt{10}$

Paso 5.2.7.2

Obtén la intersección de

$x \geq - \sqrt{10}$ y

$x < 0$ .

$- \sqrt{10} \leq x < 0$

Paso 5.2.8

Obtén la unión de las soluciones.

$- \sqrt{10} \leq x \leq \sqrt{10}$

Paso 5.3

El dominio son todos los valores de

$x$ que hacen que la expresión sea definida.

$[- \sqrt{10}, \sqrt{10}]$

Paso 6

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - \sqrt{10}$

$- \sqrt{10} < x < - 3$

$- 3 < x < 1$

$1 < x < \sqrt{10}$

$x > \sqrt{10}$

Paso 7

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 7.1

Prueba un valor en el intervalo

$x < - \sqrt{10}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.1.1

Elije un valor en el intervalo

$x < - \sqrt{10}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 7.1.2

Reemplaza

$x$ con

$- 6$ en la desigualdad original.

$(- 6) + 2 > \sqrt{10 - {(- 6)}^{2}}$

Paso 7.1.3

El lado izquierdo no es igual al lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 7.2

Prueba un valor en el intervalo

$- \sqrt{10} < x < - 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.2.1

Elije un valor en el intervalo

$- \sqrt{10} < x < - 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 3.08$

Paso 7.2.2

Reemplaza

$x$ con

$- 3.08$ en la desigualdad original.

$(- 3.08) + 2 > \sqrt{10 - {(- 3.08)}^{2}}$

Paso 7.2.3

$- 1.08$ del lado izquierdo no es mayor que

$0.71665891$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 7.3

Prueba un valor en el intervalo

$- 3 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.3.1

Elije un valor en el intervalo

$- 3 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 7.3.2

Reemplaza

$x$ con

$0$ en la desigualdad original.

$(0) + 2 > \sqrt{10 - {(0)}^{2}}$

Paso 7.3.3

$2$ del lado izquierdo no es mayor que

$3.16227766$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 7.4

Prueba un valor en el intervalo

$1 < x < \sqrt{10}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.4.1

Elije un valor en el intervalo

$1 < x < \sqrt{10}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 7.4.2

Reemplaza

$x$ con

$2$ en la desigualdad original.

$(2) + 2 > \sqrt{10 - {(2)}^{2}}$

Paso 7.4.3

$4$ del lado izquierdo es mayor que

$2.44948974$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 7.5

Prueba un valor en el intervalo

$x > \sqrt{10}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.5.1

Elije un valor en el intervalo

$x > \sqrt{10}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 7.5.2

Reemplaza

$x$ con

$6$ en la desigualdad original.

$(6) + 2 > \sqrt{10 - {(6)}^{2}}$

Paso 7.5.3

El lado izquierdo no es igual al lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 7.6

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - \sqrt{10}$ Falso

$- \sqrt{10} < x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 1$ Falso

$1 < x < \sqrt{10}$ Verdadero

$x > \sqrt{10}$ Falso

$x < - \sqrt{10}$ Falso

$- \sqrt{10} < x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 1$ Falso

$1 < x < \sqrt{10}$ Verdadero

$x > \sqrt{10}$ Falso

Paso 8

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$1 < x < \sqrt{10}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$1 < x < \sqrt{10}$

Notación de intervalo:

$(1, \sqrt{10})$

Paso 10