Matemática discreta Ejemplos

$3 x^{2} - 5 x < 2$

Paso 1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$3 x^{2} - 5 x = 2$

Paso 2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} - 5 x - 2 = 0$

Paso 3

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 2 = - 6$ y cuya suma es $b = - 5$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $- 5$ de $- 5 x$ .

$3 x^{2} - 5 x - 2 = 0$

Paso 3.1.2

Reescribe $- 5$ como $1$ más $- 6$

$3 x^{2} + (1 - 6) x - 2 = 0$

Paso 3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} + 1 x - 6 x - 2 = 0$

Paso 3.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$3 x^{2} + x - 6 x - 2 = 0$

Paso 3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(3 x^{2} + x) - 6 x - 2 = 0$

Paso 3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x (3 x + 1) - 2 (3 x + 1) = 0$

Paso 3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x + 1$ .

$(3 x + 1) (x - 2) = 0$

Paso 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 5

Establece $3 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $3 x + 1$ igual a $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Paso 5.2

Resuelve $3 x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 1$

Paso 5.2.2

Divide cada término en $3 x = - 1$ por $3$ y simplifica.

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Paso 5.2.2.1

Divide cada término en $3 x = - 1$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Paso 5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Paso 5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Paso 5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{3}$

Paso 6

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 6.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(3 x + 1) (x - 2) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{1}{3}, 2$

Paso 8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - \frac{1}{3}$

$- \frac{1}{3} < x < 2$

$x > 2$

Paso 9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 9.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - \frac{1}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - \frac{1}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 3$

Paso 9.1.2

Reemplaza $x$ con $- 3$ en la desigualdad original.

$3 {(- 3)}^{2} - 5 \cdot - 3 < 2$

Paso 9.1.3

$42$ del lado izquierdo no es menor que $2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 9.2

Prueba un valor en el intervalo $- \frac{1}{3} < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.2.1

Elije un valor en el intervalo $- \frac{1}{3} < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 9.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$3 {(0)}^{2} - 5 \cdot 0 < 2$

Paso 9.2.3

$0$ del lado izquierdo es menor que $2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 9.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 9.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$3 {(4)}^{2} - 5 \cdot 4 < 2$

Paso 9.3.3

$28$ del lado izquierdo no es menor que $2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 9.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - \frac{1}{3}$ Falso

$- \frac{1}{3} < x < 2$ Verdadero

$x > 2$ Falso

$x < - \frac{1}{3}$ Falso

$- \frac{1}{3} < x < 2$ Verdadero

$x > 2$ Falso

Paso 10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- \frac{1}{3} < x < 2$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$- \frac{1}{3} < x < 2$

Notación de intervalo:

$(- \frac{1}{3}, 2)$

Paso 12