Matemática discreta Ejemplos

$26 x - 169 - x^{2} < 0$

Paso 1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$26 x - 169 - x^{2} = 0$

Paso 2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Factoriza $- 1$ de $26 x - 169 - x^{2}$ .

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Paso 2.1.1

Reordena la expresión.

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Paso 2.1.1.1

Mueve $- 169$ .

$26 x - x^{2} - 169 = 0$

Paso 2.1.1.2

Reordena $26 x$ y $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 26 x - 169 = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 26 x - 169 = 0$

Paso 2.1.3

Factoriza $- 1$ de $26 x$ .

$- (x^{2}) - (- 26 x) - 169 = 0$

Paso 2.1.4

Reescribe $- 169$ como $- 1 (169)$ .

$- (x^{2}) - (- 26 x) - 1 \cdot 169 = 0$

Paso 2.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - (- 26 x)$ .

$- (x^{2} - 26 x) - 1 \cdot 169 = 0$

Paso 2.1.6

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2} - 26 x) - 1 (169)$ .

$- (x^{2} - 26 x + 169) = 0$

Paso 2.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.2.1

Reescribe $169$ como $13^{2}$ .

$- (x^{2} - 26 x + 13^{2}) = 0$

Paso 2.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$26 x = 2 \cdot x \cdot 13$

Paso 2.2.3

Reescribe el polinomio.

$- (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 13 + 13^{2}) = 0$

Paso 2.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 13$ .

$- {(x - 13)}^{2} = 0$

Paso 3

Divide cada término en $- {(x - 13)}^{2} = 0$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.1

Divide cada término en $- {(x - 13)}^{2} = 0$ por $- 1$ .

$\frac{- {(x - 13)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{{(x - 13)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Paso 3.2.2

Divide ${(x - 13)}^{2}$ por $1$ .

${(x - 13)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Divide $0$ por $- 1$ .

${(x - 13)}^{2} = 0$

Paso 4

Establece $x - 13$ igual a $0$ .

$x - 13 = 0$

Paso 5

Suma $13$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 13$

Paso 6

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 13$

$x > 13$

Paso 7

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 7.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 13$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 13$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 7.1.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$26 (0) - 169 - {(0)}^{2} < 0$

Paso 7.1.3

$- 169$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 7.2

Prueba un valor en el intervalo $x > 13$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.2.1

Elije un valor en el intervalo $x > 13$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 16$

Paso 7.2.2

Reemplaza $x$ con $16$ en la desigualdad original.

$26 (16) - 169 - {(16)}^{2} < 0$

Paso 7.2.3

$- 9$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 7.3

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 13$ Verdadero

$x > 13$ Verdadero

$x < 13$ Verdadero

$x > 13$ Verdadero

Paso 8

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < 13$ o $x > 13$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x < 13 or x > 13$

Notación de intervalo:

$(- \infty, 13) \cup (13, \infty)$

Paso 10