Matemática discreta Ejemplos

$x^{4} (1 - 3 x) (5 x + 2) > 0$

Paso 1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{4} = 0$

$1 - 3 x = 0$

$5 x + 2 = 0$

Paso 2

Establece $x^{4}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.1

Establece $x^{4}$ igual a $0$ .

$x^{4} = 0$

Paso 2.2

Resuelve $x^{4} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Paso 2.2.2

Simplifica $\pm \sqrt[4]{0}$ .

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Paso 2.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Paso 2.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 2.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 3

Establece $1 - 3 x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $1 - 3 x$ igual a $0$ .

$1 - 3 x = 0$

Paso 3.2

Resuelve $1 - 3 x = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 x = - 1$

Paso 3.2.2

Divide cada término en $- 3 x = - 1$ por $- 3$ y simplifica.

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Paso 3.2.2.1

Divide cada término en $- 3 x = - 1$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Paso 3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Paso 3.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 3}$

Paso 3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{1}{3}$

Paso 4

Establece $5 x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $5 x + 2$ igual a $0$ .

$5 x + 2 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $5 x + 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$5 x = - 2$

Paso 4.2.2

Divide cada término en $5 x = - 2$ por $5$ y simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Divide cada término en $5 x = - 2$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2}{5}$

Paso 4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2}{5}$

Paso 4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{5}$

Paso 4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{2}{5}$

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $x^{4} (1 - 3 x) (5 x + 2) > 0$ verdadera.

$x = 0, \frac{1}{3}, - \frac{2}{5}$

Paso 6

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - \frac{2}{5}$

$- \frac{2}{5} < x < 0$

$0 < x < \frac{1}{3}$

$x > \frac{1}{3}$

Paso 7

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 7.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - \frac{2}{5}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - \frac{2}{5}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 3$

Paso 7.1.2

Reemplaza $x$ con $- 3$ en la desigualdad original.

${(- 3)}^{4} (1 - 3 \cdot - 3) (5 (- 3) + 2) > 0$

Paso 7.1.3

$- 10530$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 7.2

Prueba un valor en el intervalo $- \frac{2}{5} < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.2.1

Elije un valor en el intervalo $- \frac{2}{5} < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 0.2$

Paso 7.2.2

Reemplaza $x$ con $- 0.2$ en la desigualdad original.

${(- 0.2)}^{4} (1 - 3 \cdot - 0.2) (5 (- 0.2) + 2) > 0$

Paso 7.2.3

$0.00256$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 7.3

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < \frac{1}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.3.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < \frac{1}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0.17$

Paso 7.3.2

Reemplaza $x$ con $0.17$ en la desigualdad original.

${(0.17)}^{4} (1 - 3 \cdot 0.17) (5 (0.17) + 2) > 0$

Paso 7.3.3

$0.00116637$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 7.4

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{1}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{1}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 7.4.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

${(3)}^{4} (1 - 3 \cdot 3) (5 (3) + 2) > 0$

Paso 7.4.3

$- 11016$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 7.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - \frac{2}{5}$ Falso

$- \frac{2}{5} < x < 0$ Verdadero

$0 < x < \frac{1}{3}$ Verdadero

$x > \frac{1}{3}$ Falso

$x < - \frac{2}{5}$ Falso

$- \frac{2}{5} < x < 0$ Verdadero

$0 < x < \frac{1}{3}$ Verdadero

$x > \frac{1}{3}$ Falso

Paso 8

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- \frac{2}{5} < x < 0$ o $0 < x < \frac{1}{3}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$- \frac{2}{5} < x < 0 or 0 < x < \frac{1}{3}$

Notación de intervalo:

$(- \frac{2}{5}, 0) \cup (0, \frac{1}{3})$

Paso 10