Matemática discreta Ejemplos

$\frac{7}{3} + \frac{2}{3} x < \frac{49}{18} + \frac{7}{6} x + \frac{3}{6}$

Paso 1

Combina $\frac{2}{3}$ y $x$ .

$\frac{7}{3} + \frac{2 x}{3} < \frac{49}{18} + \frac{7}{6} x + \frac{3}{6}$

Paso 2

Simplifica $\frac{49}{18} + \frac{7}{6} x + \frac{3}{6}$ .

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Combina $\frac{7}{6}$ y $x$ .

$\frac{7}{3} + \frac{2 x}{3} < \frac{49}{18} + \frac{7 x}{6} + \frac{3}{6}$

Paso 2.1.2

Cancela el factor común de $3$ y $6$ .

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{7}{3} + \frac{2 x}{3} < \frac{49}{18} + \frac{7 x}{6} + \frac{3 (1)}{6}$

Paso 2.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.2.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{7}{3} + \frac{2 x}{3} < \frac{49}{18} + \frac{7 x}{6} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Paso 2.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{7}{3} + \frac{2 x}{3} < \frac{49}{18} + \frac{7 x}{6} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Paso 2.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{7}{3} + \frac{2 x}{3} < \frac{49}{18} + \frac{7 x}{6} + \frac{1}{2}$

Paso 2.2

Para escribir $\frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{7}{3} + \frac{2 x}{3} < \frac{7 x}{6} + \frac{49}{18} + \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{9}$

Paso 2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $18$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{7}{3} + \frac{2 x}{3} < \frac{7 x}{6} + \frac{49}{18} + \frac{9}{2 \cdot 9}$

Paso 2.3.2

Multiplica $2$ por $9$ .

$\frac{7}{3} + \frac{2 x}{3} < \frac{7 x}{6} + \frac{49}{18} + \frac{9}{18}$

Paso 2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{7}{3} + \frac{2 x}{3} < \frac{7 x}{6} + \frac{49 + 9}{18}$

Paso 2.4.2

Suma $49$ y $9$ .

$\frac{7}{3} + \frac{2 x}{3} < \frac{7 x}{6} + \frac{58}{18}$

Paso 2.5

Cancela el factor común de $58$ y $18$ .

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Paso 2.5.1

Factoriza $2$ de $58$ .

$\frac{7}{3} + \frac{2 x}{3} < \frac{7 x}{6} + \frac{2 (29)}{18}$

Paso 2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.5.2.1

Factoriza $2$ de $18$ .

$\frac{7}{3} + \frac{2 x}{3} < \frac{7 x}{6} + \frac{2 \cdot 29}{2 \cdot 9}$

Paso 2.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{7}{3} + \frac{2 x}{3} < \frac{7 x}{6} + \frac{2 \cdot 29}{2 \cdot 9}$

Paso 2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{7}{3} + \frac{2 x}{3} < \frac{7 x}{6} + \frac{29}{9}$

Paso 3

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la desigualdad.

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Paso 3.1

Resta $\frac{7 x}{6}$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{7}{3} + \frac{2 x}{3} - \frac{7 x}{6} < \frac{29}{9}$

Paso 3.2

Para escribir $\frac{2 x}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7}{3} + \frac{2 x}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{7 x}{6} < \frac{29}{9}$

Paso 3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.3.1

Multiplica $\frac{2 x}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7}{3} + \frac{2 x \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{7 x}{6} < \frac{29}{9}$

Paso 3.3.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{7}{3} + \frac{2 x \cdot 2}{6} - \frac{7 x}{6} < \frac{29}{9}$

Paso 3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{7}{3} + \frac{2 x \cdot 2 - 7 x}{6} < \frac{29}{9}$

Paso 3.5

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1.1

Factoriza $x$ de $2 x \cdot 2 - 7 x$ .

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Paso 3.5.1.1.1

Factoriza $x$ de $2 x \cdot 2$ .

$\frac{7}{3} + \frac{x (2 \cdot 2) - 7 x}{6} < \frac{29}{9}$

Paso 3.5.1.1.2

Factoriza $x$ de $- 7 x$ .

$\frac{7}{3} + \frac{x (2 \cdot 2) + x \cdot - 7}{6} < \frac{29}{9}$

Paso 3.5.1.1.3

Factoriza $x$ de $x (2 \cdot 2) + x \cdot - 7$ .

$\frac{7}{3} + \frac{x (2 \cdot 2 - 7)}{6} < \frac{29}{9}$

Paso 3.5.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{7}{3} + \frac{x (4 - 7)}{6} < \frac{29}{9}$

Paso 3.5.1.3

Resta $7$ de $4$ .

$\frac{7}{3} + \frac{x \cdot - 3}{6} < \frac{29}{9}$

Paso 3.5.2

Cancela el factor común de $- 3$ y $6$ .

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Paso 3.5.2.1

Factoriza $3$ de $x \cdot - 3$ .

$\frac{7}{3} + \frac{3 (x \cdot - 1)}{6} < \frac{29}{9}$

Paso 3.5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.2.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{7}{3} + \frac{3 (x \cdot - 1)}{3 (2)} < \frac{29}{9}$

Paso 3.5.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{7}{3} + \frac{3 (x \cdot - 1)}{3 \cdot 2} < \frac{29}{9}$

Paso 3.5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{7}{3} + \frac{x \cdot - 1}{2} < \frac{29}{9}$

Paso 3.5.3

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{7}{3} + \frac{- 1 \cdot x}{2} < \frac{29}{9}$

Paso 3.5.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{7}{3} - \frac{x}{2} < \frac{29}{9}$

Paso 4

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la desigualdad.

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Paso 4.1

Resta $\frac{7}{3}$ de ambos lados de la desigualdad.

$- \frac{x}{2} < \frac{29}{9} - \frac{7}{3}$

Paso 4.2

Para escribir $- \frac{7}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{x}{2} < \frac{29}{9} - \frac{7}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 4.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $9$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.3.1

Multiplica $\frac{7}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{x}{2} < \frac{29}{9} - \frac{7 \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Paso 4.3.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$- \frac{x}{2} < \frac{29}{9} - \frac{7 \cdot 3}{9}$

Paso 4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{x}{2} < \frac{29 - 7 \cdot 3}{9}$

Paso 4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.1

Multiplica $- 7$ por $3$ .

$- \frac{x}{2} < \frac{29 - 21}{9}$

Paso 4.5.2

Resta $21$ de $29$ .

$- \frac{x}{2} < \frac{8}{9}$

Paso 5

Divide cada término en $- \frac{x}{2} < \frac{8}{9}$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 5.1

Divide cada término de $- \frac{x}{2} < \frac{8}{9}$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- \frac{x}{2}}{- 1} > \frac{\frac{8}{9}}{- 1}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\frac{x}{2}}{1} > \frac{\frac{8}{9}}{- 1}$

Paso 5.2.2

Divide $\frac{x}{2}$ por $1$ .

$\frac{x}{2} > \frac{\frac{8}{9}}{- 1}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\frac{8}{9}}{- 1}$ .

$\frac{x}{2} > - 1 \cdot \frac{8}{9}$

Paso 5.3.2

Reescribe $- 1 \cdot \frac{8}{9}$ como $- \frac{8}{9}$ .

$\frac{x}{2} > - \frac{8}{9}$

Paso 6

Multiplica ambos lados por $2$ .

$\frac{x}{2} \cdot 2 > - \frac{8}{9} \cdot 2$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x}{2} \cdot 2 > - \frac{8}{9} \cdot 2$

Paso 7.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x > - \frac{8}{9} \cdot 2$

Paso 7.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.1

Simplifica $- \frac{8}{9} \cdot 2$ .

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Paso 7.2.1.1

Multiplica $- \frac{8}{9} \cdot 2$ .

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Paso 7.2.1.1.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x > - 2 (\frac{8}{9})$

Paso 7.2.1.1.2

Combina $- 2$ y $\frac{8}{9}$ .

$x > \frac{- 2 \cdot 8}{9}$

Paso 7.2.1.1.3

Multiplica $- 2$ por $8$ .

$x > \frac{- 16}{9}$

Paso 7.2.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x > - \frac{16}{9}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x > - \frac{16}{9}$

Notación de intervalo:

$(- \frac{16}{9}, \infty)$