Matemática discreta Ejemplos

$\frac{3}{5 x} + \frac{1}{6 x} > \frac{2}{3}$

Paso 1

Simplifica $\frac{3}{5 x} + \frac{1}{6 x}$ .

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Paso 1.1

Para escribir $\frac{3}{5 x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{3}{5 x} \cdot \frac{6}{6} + \frac{1}{6 x} > \frac{2}{3}$

Paso 1.2

Para escribir $\frac{1}{6 x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{3}{5 x} \cdot \frac{6}{6} + \frac{1}{6 x} \cdot \frac{5}{5} > \frac{2}{3}$

Paso 1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $30 x$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.3.1

Multiplica $\frac{3}{5 x}$ por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{3 \cdot 6}{5 x \cdot 6} + \frac{1}{6 x} \cdot \frac{5}{5} > \frac{2}{3}$

Paso 1.3.2

Multiplica $6$ por $5$ .

$\frac{3 \cdot 6}{30 x} + \frac{1}{6 x} \cdot \frac{5}{5} > \frac{2}{3}$

Paso 1.3.3

Multiplica $\frac{1}{6 x}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{3 \cdot 6}{30 x} + \frac{5}{6 x \cdot 5} > \frac{2}{3}$

Paso 1.3.4

Multiplica $5$ por $6$ .

$\frac{3 \cdot 6}{30 x} + \frac{5}{30 x} > \frac{2}{3}$

Paso 1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 \cdot 6 + 5}{30 x} > \frac{2}{3}$

Paso 1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.5.1

Multiplica $3$ por $6$ .

$\frac{18 + 5}{30 x} > \frac{2}{3}$

Paso 1.5.2

Suma $18$ y $5$ .

$\frac{23}{30 x} > \frac{2}{3}$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $30 x$ .

$\frac{23}{30 x} (30 x) = \frac{2}{3} (30 x)$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.1

Simplifica $\frac{23}{30 x} (30 x)$ .

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Paso 3.1.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$30 \frac{23}{30 x} x = \frac{2}{3} (30 x)$

Paso 3.1.1.2

Cancela el factor común de $30$ .

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Paso 3.1.1.2.1

Factoriza $30$ de $30 x$ .

$30 \frac{23}{30 (x)} x = \frac{2}{3} (30 x)$

Paso 3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$30 \frac{23}{30 x} x = \frac{2}{3} (30 x)$

Paso 3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{23}{x} x = \frac{2}{3} (30 x)$

Paso 3.1.1.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{23}{x} x = \frac{2}{3} (30 x)$

Paso 3.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$23 = \frac{2}{3} (30 x)$

Paso 3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Simplifica $\frac{2}{3} (30 x)$ .

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Factoriza $3$ de $30 x$ .

$23 = \frac{2}{3} (3 (10 x))$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$23 = \frac{2}{3} (3 (10 x))$

Paso 3.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$23 = 2 (10 x)$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $10$ por $2$ .

$23 = 20 x$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $20 x = 23$ .

$20 x = 23$

Paso 4.2

Divide cada término en $20 x = 23$ por $20$ y simplifica.

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Paso 4.2.1

Divide cada término en $20 x = 23$ por $20$ .

$\frac{20 x}{20} = \frac{23}{20}$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.1

Cancela el factor común de $20$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{20 x}{20} = \frac{23}{20}$

Paso 4.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{23}{20}$

Paso 5

Obtén el dominio de $\frac{23}{30 x} - \frac{2}{3}$ .

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Paso 5.1

Establece el denominador en $\frac{23}{30 x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$30 x = 0$

Paso 5.2

Divide cada término en $30 x = 0$ por $30$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $30 x = 0$ por $30$ .

$\frac{30 x}{30} = \frac{0}{30}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $30$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{30 x}{30} = \frac{0}{30}$

Paso 5.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{30}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Divide $0$ por $30$ .

$x = 0$

Paso 5.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 6

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 0$

$0 < x < \frac{23}{20}$

$x > \frac{23}{20}$

Paso 7

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 7.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 7.1.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$\frac{3}{5 (- 2)} + \frac{1}{6 (- 2)} > \frac{2}{3}$

Paso 7.1.3

$- 0.38\overline{3}$ del lado izquierdo no es mayor que $0.\overline{6}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 7.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < \frac{23}{20}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < \frac{23}{20}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 1$

Paso 7.2.2

Reemplaza $x$ con $1$ en la desigualdad original.

$\frac{3}{5 (1)} + \frac{1}{6 (1)} > \frac{2}{3}$

Paso 7.2.3

$0.7\overline{6}$ del lado izquierdo es mayor que $0.\overline{6}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 7.3

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{23}{20}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{23}{20}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 7.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\frac{3}{5 (4)} + \frac{1}{6 (4)} > \frac{2}{3}$

Paso 7.3.3

$0.191\overline{6}$ del lado izquierdo no es mayor que $0.\overline{6}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 7.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{23}{20}$ Verdadero

$x > \frac{23}{20}$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{23}{20}$ Verdadero

$x > \frac{23}{20}$ Falso

Paso 8

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$0 < x < \frac{23}{20}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$0 < x < \frac{23}{20}$

Notación de intervalo:

$(0, \frac{23}{20})$

Paso 10