Matemática discreta Ejemplos

$\frac{2 x^{2} - 7 + 3}{{(x - 2)}^{2} (x + 1)} < 0$

Paso 1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$2 x^{2} - 7 + 3 = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 2

Suma $- 7$ y $3$ .

$2 x^{2} - 4 = 0$

Paso 3

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} = 4$

Paso 4

Divide cada término en $2 x^{2} = 4$ por $2$ y simplifica.

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Paso 4.1

Divide cada término en $2 x^{2} = 4$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{4}{2}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{4}{2}$

Paso 4.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{2}$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Divide $4$ por $2$ .

$x^{2} = 2$

Paso 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Paso 6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{2}$

Paso 6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{2}$

Paso 6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Paso 7

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 8

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 9

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 10

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

$x = 2$

$x = - 1$

Paso 11

Consolida las soluciones.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 2, - 1$

Paso 12

Obtén el dominio de $\frac{2 x^{2} - 7 + 3}{{(x - 2)}^{2} (x + 1)}$ .

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Paso 12.1

Establece el denominador en $\frac{2 x^{2} - 7 + 3}{{(x - 2)}^{2} (x + 1)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x - 2)}^{2} (x + 1) = 0$

Paso 12.2

Resuelve $x$

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Paso 12.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 12.2.2

Establece ${(x - 2)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 12.2.2.1

Establece ${(x - 2)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Paso 12.2.2.2

Resuelve ${(x - 2)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 12.2.2.2.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 12.2.2.2.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 12.2.3

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 12.2.3.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 12.2.3.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 12.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen ${(x - 2)}^{2} (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = 2, - 1$

Paso 12.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 2) \cup (2, \infty)$

Paso 13

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - \sqrt{2}$

$- \sqrt{2} < x < - 1$

$- 1 < x < \sqrt{2}$

$\sqrt{2} < x < 2$

$x > 2$

Paso 14

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 14.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - \sqrt{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 14.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - \sqrt{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 14.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$\frac{2 {(- 4)}^{2} - 7 + 3}{{((- 4) - 2)}^{2} ((- 4) + 1)} < 0$

Paso 14.1.3

$- 0.\overline{259}$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 14.2

Prueba un valor en el intervalo $- \sqrt{2} < x < - 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 14.2.1

Elije un valor en el intervalo $- \sqrt{2} < x < - 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 1.21$

Paso 14.2.2

Reemplaza $x$ con $- 1.21$ en la desigualdad original.

$\frac{2 {(- 1.21)}^{2} - 7 + 3}{{((- 1.21) - 2)}^{2} ((- 1.21) + 1)} < 0$

Paso 14.2.3

$0.49531832$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 14.3

Prueba un valor en el intervalo $- 1 < x < \sqrt{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 14.3.1

Elije un valor en el intervalo $- 1 < x < \sqrt{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 14.3.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{2 {(0)}^{2} - 7 + 3}{{((0) - 2)}^{2} ((0) + 1)} < 0$

Paso 14.3.3

$- 1$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 14.4

Prueba un valor en el intervalo $\sqrt{2} < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 14.4.1

Elije un valor en el intervalo $\sqrt{2} < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 1.71$

Paso 14.4.2

Reemplaza $x$ con $1.71$ en la desigualdad original.

$\frac{2 {(1.71)}^{2} - 7 + 3}{{((1.71) - 2)}^{2} ((1.71) + 1)} < 0$

Paso 14.4.3

$8.10930582$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 14.5

Prueba un valor en el intervalo $x > 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 14.5.1

Elije un valor en el intervalo $x > 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 14.5.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\frac{2 {(4)}^{2} - 7 + 3}{{((4) - 2)}^{2} ((4) + 1)} < 0$

Paso 14.5.3

$1.4$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 14.6

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - \sqrt{2}$ Verdadero

$- \sqrt{2} < x < - 1$ Falso

$- 1 < x < \sqrt{2}$ Verdadero

$\sqrt{2} < x < 2$ Falso

$x > 2$ Falso

$x < - \sqrt{2}$ Verdadero

$- \sqrt{2} < x < - 1$ Falso

$- 1 < x < \sqrt{2}$ Verdadero

$\sqrt{2} < x < 2$ Falso

$x > 2$ Falso

Paso 15

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - \sqrt{2}$ o $- 1 < x < \sqrt{2}$

Paso 16

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x < - \sqrt{2} or - 1 < x < \sqrt{2}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - \sqrt{2}) \cup (- 1, \sqrt{2})$

Paso 17