Matemática discreta Ejemplos

$\frac{14}{x^{2} - 3 x} - \frac{8}{x} > - \frac{10}{x - 3}$

Paso 1

Suma $\frac{10}{x - 3}$ a ambos lados de la desigualdad.

$\frac{14}{x^{2} - 3 x} - \frac{8}{x} + \frac{10}{x - 3} > 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{14}{x^{2} - 3 x} - \frac{8}{x} + \frac{10}{x - 3}$ .

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Paso 2.1

Factoriza $x$ de $x^{2} - 3 x$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{14}{x \cdot x - 3 x} - \frac{8}{x} + \frac{10}{x - 3} > 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $x$ de $- 3 x$ .

$\frac{14}{x \cdot x + x \cdot - 3} - \frac{8}{x} + \frac{10}{x - 3} > 0$

Paso 2.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 3$ .

$\frac{14}{x (x - 3)} - \frac{8}{x} + \frac{10}{x - 3} > 0$

Paso 2.2

Para escribir $\frac{10}{x - 3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{14}{x (x - 3)} + \frac{10}{x - 3} \cdot \frac{x}{x} - \frac{8}{x} > 0$

Paso 2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $x (x - 3)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.3.1

Multiplica $\frac{10}{x - 3}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{14}{x (x - 3)} + \frac{10 x}{(x - 3) x} - \frac{8}{x} > 0$

Paso 2.3.2

Reordena los factores de $(x - 3) x$ .

$\frac{14}{x (x - 3)} + \frac{10 x}{x (x - 3)} - \frac{8}{x} > 0$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{14 + 10 x}{x (x - 3)} - \frac{8}{x} > 0$

Paso 2.5

Factoriza $2$ de $14 + 10 x$ .

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Paso 2.5.1

Factoriza $2$ de $14$ .

$\frac{2 (7) + 10 x}{x (x - 3)} - \frac{8}{x} > 0$

Paso 2.5.2

Factoriza $2$ de $10 x$ .

$\frac{2 (7) + 2 (5 x)}{x (x - 3)} - \frac{8}{x} > 0$

Paso 2.5.3

Factoriza $2$ de $2 (7) + 2 (5 x)$ .

$\frac{2 (7 + 5 x)}{x (x - 3)} - \frac{8}{x} > 0$

Paso 2.6

Para escribir $- \frac{8}{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{2 (7 + 5 x)}{x (x - 3)} - \frac{8}{x} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} > 0$

Paso 2.7

Multiplica $\frac{8}{x}$ por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{2 (7 + 5 x)}{x (x - 3)} - \frac{8 (x - 3)}{x (x - 3)} > 0$

Paso 2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 (7 + 5 x) - 8 (x - 3)}{x (x - 3)} > 0$

Paso 2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 2.9.1

Factoriza $2$ de $2 (7 + 5 x) - 8 (x - 3)$ .

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Paso 2.9.1.1

Factoriza $2$ de $- 8 (x - 3)$ .

$\frac{2 (7 + 5 x) + 2 (- 4 (x - 3))}{x (x - 3)} > 0$

Paso 2.9.1.2

Factoriza $2$ de $2 (7 + 5 x) + 2 (- 4 (x - 3))$ .

$\frac{2 (7 + 5 x - 4 (x - 3))}{x (x - 3)} > 0$

Paso 2.9.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (7 + 5 x - 4 x - 4 \cdot - 3)}{x (x - 3)} > 0$

Paso 2.9.3

Multiplica $- 4$ por $- 3$ .

$\frac{2 (7 + 5 x - 4 x + 12)}{x (x - 3)} > 0$

Paso 2.9.4

Suma $7$ y $12$ .

$\frac{2 (5 x - 4 x + 19)}{x (x - 3)} > 0$

Paso 2.9.5

Resta $4 x$ de $5 x$ .

$\frac{2 (x + 19)}{x (x - 3)} > 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x = 0$

$x + 19 = 0$

$x - 3 = 0$

Paso 4

Resta $19$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 19$

Paso 5

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 6

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 0$

$x = - 19$

$x = 3$

Paso 7

Consolida las soluciones.

$x = 0, - 19, 3$

Paso 8

Obtén el dominio de $\frac{2 (x + 19)}{x (x - 3)}$ .

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Paso 8.1

Establece el denominador en $\frac{2 (x + 19)}{x (x - 3)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x (x - 3) = 0$

Paso 8.2

Resuelve $x$

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Paso 8.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 3 = 0$

Paso 8.2.2

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 8.2.3

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.2.3.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 8.2.3.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 8.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x - 3) = 0$ verdadera.

$x = 0, 3$

Paso 8.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Paso 9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 19$

$- 19 < x < 0$

$0 < x < 3$

$x > 3$

Paso 10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 10.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 19$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 19$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 22$

Paso 10.1.2

Reemplaza $x$ con $- 22$ en la desigualdad original.

$\frac{14}{{(- 22)}^{2} - 3 \cdot - 22} - \frac{8}{- 22} > - \frac{10}{(- 22) - 3}$

Paso 10.1.3

$0.38\overline{90}$ del lado izquierdo no es mayor que $0.4$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 10.2

Prueba un valor en el intervalo $- 19 < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 19 < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 10.2.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$\frac{14}{{(- 2)}^{2} - 3 \cdot - 2} - \frac{8}{- 2} > - \frac{10}{(- 2) - 3}$

Paso 10.2.3

$5.4$ del lado izquierdo es mayor que $2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 10.3

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.3.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 10.3.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$\frac{14}{{(2)}^{2} - 3 \cdot 2} - \frac{8}{2} > - \frac{10}{(2) - 3}$

Paso 10.3.3

$- 11$ del lado izquierdo no es mayor que $10$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 10.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 10.4.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$\frac{14}{{(6)}^{2} - 3 \cdot 6} - \frac{8}{6} > - \frac{10}{(6) - 3}$

Paso 10.4.3

$- 0.\overline{5}$ del lado izquierdo es mayor que $- 3.\overline{3}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 10.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 19$ Falso

$- 19 < x < 0$ Verdadero

$0 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Verdadero

$x < - 19$ Falso

$- 19 < x < 0$ Verdadero

$0 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Verdadero

Paso 11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 19 < x < 0$ o $x > 3$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$- 19 < x < 0 or x > 3$

Notación de intervalo:

$(- 19, 0) \cup (3, \infty)$

Paso 13