Matemática discreta Ejemplos

∣ ∣ ∣ \frac{1}{8} - x ∣ ∣ ∣ < 3

$| \frac{1}{8} - x | < 3$

Paso 1

Escribe

∣ ∣ ∣ \frac{1}{8} - x ∣ ∣ ∣ < 3

$| \frac{1}{8} - x | < 3$ como una función definida por partes.

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Paso 1.1

Para obtener el intervalo de la primera parte, obtén dónde el interior del valor absoluto no es negativo.

\frac{1}{8} - x \geq 0

$\frac{1}{8} - x \geq 0$

Paso 1.2

Resuelve la desigualdad.

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Paso 1.2.1

Resta

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ de ambos lados de la desigualdad.

- x \geq - \frac{1}{8}

$- x \geq - \frac{1}{8}$

Paso 1.2.2

Divide cada término en

- x \geq - \frac{1}{8}

$- x \geq - \frac{1}{8}$ por

- 1

$- 1$ y simplifica.

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Paso 1.2.2.1

Divide cada término de

- x \geq - \frac{1}{8}

$- x \geq - \frac{1}{8}$ por

- 1

$- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}$

Paso 1.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

\frac{x}{1} \leq \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}

$\frac{x}{1} \leq \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}$

Paso 1.2.2.2.2

Divide

x

$x$ por

1

$1$ .

x \leq \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}

$x \leq \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}$

x \leq \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}

$x \leq \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}$

Paso 1.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

x \leq \frac{\frac{1}{8}}{1}

$x \leq \frac{\frac{1}{8}}{1}$

Paso 1.2.2.3.2

Divide

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ por

1

$1$ .

x \leq \frac{1}{8}

$x \leq \frac{1}{8}$

x \leq \frac{1}{8}

$x \leq \frac{1}{8}$

x \leq \frac{1}{8}

$x \leq \frac{1}{8}$

x \leq \frac{1}{8}

$x \leq \frac{1}{8}$

Paso 1.3

En la parte donde

\frac{1}{8} - x

$\frac{1}{8} - x$ no es negativa, elimina el valor absoluto.

\frac{1}{8} - x < 3

$\frac{1}{8} - x < 3$

Paso 1.4

Para obtener el intervalo de la segunda parte, obtén dónde el interior del valor absoluto es negativo.

\frac{1}{8} - x < 0

$\frac{1}{8} - x < 0$

Paso 1.5

Resuelve la desigualdad.

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Paso 1.5.1

Resta

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ de ambos lados de la desigualdad.

- x < - \frac{1}{8}

$- x < - \frac{1}{8}$

Paso 1.5.2

Divide cada término en

- x < - \frac{1}{8}

$- x < - \frac{1}{8}$ por

- 1

$- 1$ y simplifica.

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Paso 1.5.2.1

Divide cada término de

- x < - \frac{1}{8}

$- x < - \frac{1}{8}$ por

- 1

$- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

\frac{- x}{- 1} > \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}

$\frac{- x}{- 1} > \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}$

Paso 1.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

\frac{x}{1} > \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}

$\frac{x}{1} > \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}$

Paso 1.5.2.2.2

Divide

x

$x$ por

1

$1$ .

x > \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}

$x > \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}$

x > \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}

$x > \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}$

Paso 1.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

x > \frac{\frac{1}{8}}{1}

$x > \frac{\frac{1}{8}}{1}$

Paso 1.5.2.3.2

Divide

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ por

1

$1$ .

x > \frac{1}{8}

$x > \frac{1}{8}$

x > \frac{1}{8}

$x > \frac{1}{8}$

x > \frac{1}{8}

$x > \frac{1}{8}$

x > \frac{1}{8}

$x > \frac{1}{8}$

Paso 1.6

En la parte donde

\frac{1}{8} - x

$\frac{1}{8} - x$ es negativa, elimina el valor absoluto y multiplica por

- 1

$- 1$ .

- (\frac{1}{8} - x) < 3

$- (\frac{1}{8} - x) < 3$

Paso 1.7

Escribe como una función definida por partes.

⎧ ⎨ ⎩ \begin{matrix} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} - (\frac{1}{8} - x) < 3 & x > \frac{1}{8} \end{matrix}

${\begin{cases} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} \\ - (\frac{1}{8} - x) < 3 & x > \frac{1}{8} \end{cases}$

Paso 1.8

Simplifica

- (\frac{1}{8} - x) < 3

$- (\frac{1}{8} - x) < 3$ .

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Paso 1.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

{\begin{matrix} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} - \frac{1}{8} - - x < 3 & x > \frac{1}{8} \end{matrix}

${\begin{cases} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} - - x < 3 & x > \frac{1}{8} \end{cases}$

Paso 1.8.2

Multiplica

$- - x$ .

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Paso 1.8.2.1

Multiplica

$- 1$ por

$- 1$ .

${\begin{cases} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} + 1 x < 3 & x > \frac{1}{8} \end{cases}$

Paso 1.8.2.2

Multiplica

$x$ por

$1$ .

${\begin{cases} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} + x < 3 & x > \frac{1}{8} \end{cases}$

Paso 2

Resuelve

$\frac{1}{8} - x < 3$ cuando

$x \leq \frac{1}{8}$ .

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Paso 2.1

Resuelve

$\frac{1}{8} - x < 3$ en

$x$ .

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Paso 2.1.1

Mueve todos los términos que no contengan

$x$ al lado derecho de la desigualdad.

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Paso 2.1.1.1

Resta

$\frac{1}{8}$ de ambos lados de la desigualdad.

$- x < 3 - \frac{1}{8}$

Paso 2.1.1.2

Para escribir

$3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por

$\frac{8}{8}$ .

$- x < 3 \cdot \frac{8}{8} - \frac{1}{8}$

Paso 2.1.1.3

Combina

$3$ y

$\frac{8}{8}$ .

$- x < \frac{3 \cdot 8}{8} - \frac{1}{8}$

Paso 2.1.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- x < \frac{3 \cdot 8 - 1}{8}$

Paso 2.1.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.1.5.1

Multiplica

$3$ por

$8$ .

$- x < \frac{24 - 1}{8}$

Paso 2.1.1.5.2

Resta

$1$ de

$24$ .

$- x < \frac{23}{8}$

Paso 2.1.2

Divide cada término en

$- x < \frac{23}{8}$ por

$- 1$ y simplifica.

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Paso 2.1.2.1

Divide cada término de

$- x < \frac{23}{8}$ por

$- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{\frac{23}{8}}{- 1}$

Paso 2.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} > \frac{\frac{23}{8}}{- 1}$

Paso 2.1.2.2.2

Divide

$x$ por

$1$ .

$x > \frac{\frac{23}{8}}{- 1}$

Paso 2.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.2.3.1

Mueve el negativo del denominador de

$\frac{\frac{23}{8}}{- 1}$ .

$x > - 1 \cdot \frac{23}{8}$

Paso 2.1.2.3.2

Reescribe

$- 1 \cdot \frac{23}{8}$ como

$- \frac{23}{8}$ .

$x > - \frac{23}{8}$

Paso 2.2

Obtén la intersección de

$x > - \frac{23}{8}$ y

$x \leq \frac{1}{8}$ .

$- \frac{23}{8} < x \leq \frac{1}{8}$

Paso 3

Resuelve

$- \frac{1}{8} + x < 3$ cuando

$x > \frac{1}{8}$ .

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que no contengan

$x$ al lado derecho de la desigualdad.

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Paso 3.1.1

Suma

$\frac{1}{8}$ a ambos lados de la desigualdad.

$x < 3 + \frac{1}{8}$

Paso 3.1.2

Para escribir

$3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por

$\frac{8}{8}$ .

$x < 3 \cdot \frac{8}{8} + \frac{1}{8}$

Paso 3.1.3

Combina

$3$ y

$\frac{8}{8}$ .

$x < \frac{3 \cdot 8}{8} + \frac{1}{8}$

Paso 3.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x < \frac{3 \cdot 8 + 1}{8}$

Paso 3.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.5.1

Multiplica

$3$ por

$8$ .

$x < \frac{24 + 1}{8}$

Paso 3.1.5.2

Suma

$24$ y

$1$ .

$x < \frac{25}{8}$

Paso 3.2

Obtén la intersección de

$x < \frac{25}{8}$ y

$x > \frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{8} < x < \frac{25}{8}$

Paso 4

Obtén la unión de las soluciones.

$- \frac{23}{8} < x < \frac{25}{8}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$- \frac{23}{8} < x < \frac{25}{8}$

Notación de intervalo:

$(- \frac{23}{8}, \frac{25}{8})$

Paso 6