Matemática discreta Ejemplos

$| \frac{1}{8} - x | < 3$

Paso 1

Escribe $| \frac{1}{8} - x | < 3$ como una función definida por partes.

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Paso 1.1

Para obtener el intervalo de la primera parte, obtén dónde el interior del valor absoluto no es negativo.

$\frac{1}{8} - x \geq 0$

Paso 1.2

Resuelve la desigualdad.

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Paso 1.2.1

Resta $\frac{1}{8}$ de ambos lados de la desigualdad.

$- x \geq - \frac{1}{8}$

Paso 1.2.2

Divide cada término en $- x \geq - \frac{1}{8}$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 1.2.2.1

Divide cada término de $- x \geq - \frac{1}{8}$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}$

Paso 1.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}$

Paso 1.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}$

Paso 1.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x \leq \frac{\frac{1}{8}}{1}$

Paso 1.2.2.3.2

Divide $\frac{1}{8}$ por $1$ .

$x \leq \frac{1}{8}$

Paso 1.3

En la parte donde $\frac{1}{8} - x$ no es negativa, elimina el valor absoluto.

$\frac{1}{8} - x < 3$

Paso 1.4

Para obtener el intervalo de la segunda parte, obtén dónde el interior del valor absoluto es negativo.

$\frac{1}{8} - x < 0$

Paso 1.5

Resuelve la desigualdad.

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Paso 1.5.1

Resta $\frac{1}{8}$ de ambos lados de la desigualdad.

$- x < - \frac{1}{8}$

Paso 1.5.2

Divide cada término en $- x < - \frac{1}{8}$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 1.5.2.1

Divide cada término de $- x < - \frac{1}{8}$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}$

Paso 1.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} > \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}$

Paso 1.5.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x > \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}$

Paso 1.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x > \frac{\frac{1}{8}}{1}$

Paso 1.5.2.3.2

Divide $\frac{1}{8}$ por $1$ .

$x > \frac{1}{8}$

Paso 1.6

En la parte donde $\frac{1}{8} - x$ es negativa, elimina el valor absoluto y multiplica por $- 1$ .

$- (\frac{1}{8} - x) < 3$

Paso 1.7

Escribe como una función definida por partes.

${\begin{cases} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} \\ - (\frac{1}{8} - x) < 3 & x > \frac{1}{8} \end{cases}$

Paso 1.8

Simplifica $- (\frac{1}{8} - x) < 3$ .

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Paso 1.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

${\begin{cases} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} - - x < 3 & x > \frac{1}{8} \end{cases}$

Paso 1.8.2

Multiplica $- - x$ .

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Paso 1.8.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

${\begin{cases} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} + 1 x < 3 & x > \frac{1}{8} \end{cases}$

Paso 1.8.2.2

Multiplica $x$ por $1$ .

${\begin{cases} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} + x < 3 & x > \frac{1}{8} \end{cases}$

Paso 2

Resuelve $\frac{1}{8} - x < 3$ cuando $x \leq \frac{1}{8}$ .

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Paso 2.1

Resuelve $\frac{1}{8} - x < 3$ en $x$ .

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Paso 2.1.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la desigualdad.

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Paso 2.1.1.1

Resta $\frac{1}{8}$ de ambos lados de la desigualdad.

$- x < 3 - \frac{1}{8}$

Paso 2.1.1.2

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{8}{8}$ .

$- x < 3 \cdot \frac{8}{8} - \frac{1}{8}$

Paso 2.1.1.3

Combina $3$ y $\frac{8}{8}$ .

$- x < \frac{3 \cdot 8}{8} - \frac{1}{8}$

Paso 2.1.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- x < \frac{3 \cdot 8 - 1}{8}$

Paso 2.1.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.1.5.1

Multiplica $3$ por $8$ .

$- x < \frac{24 - 1}{8}$

Paso 2.1.1.5.2

Resta $1$ de $24$ .

$- x < \frac{23}{8}$

Paso 2.1.2

Divide cada término en $- x < \frac{23}{8}$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.1.2.1

Divide cada término de $- x < \frac{23}{8}$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{\frac{23}{8}}{- 1}$

Paso 2.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} > \frac{\frac{23}{8}}{- 1}$

Paso 2.1.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x > \frac{\frac{23}{8}}{- 1}$

Paso 2.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.2.3.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\frac{23}{8}}{- 1}$ .

$x > - 1 \cdot \frac{23}{8}$

Paso 2.1.2.3.2

Reescribe $- 1 \cdot \frac{23}{8}$ como $- \frac{23}{8}$ .

$x > - \frac{23}{8}$

Paso 2.2

Obtén la intersección de $x > - \frac{23}{8}$ y $x \leq \frac{1}{8}$ .

$- \frac{23}{8} < x \leq \frac{1}{8}$

Paso 3

Resuelve $- \frac{1}{8} + x < 3$ cuando $x > \frac{1}{8}$ .

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la desigualdad.

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Paso 3.1.1

Suma $\frac{1}{8}$ a ambos lados de la desigualdad.

$x < 3 + \frac{1}{8}$

Paso 3.1.2

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{8}{8}$ .

$x < 3 \cdot \frac{8}{8} + \frac{1}{8}$

Paso 3.1.3

Combina $3$ y $\frac{8}{8}$ .

$x < \frac{3 \cdot 8}{8} + \frac{1}{8}$

Paso 3.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x < \frac{3 \cdot 8 + 1}{8}$

Paso 3.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.5.1

Multiplica $3$ por $8$ .

$x < \frac{24 + 1}{8}$

Paso 3.1.5.2

Suma $24$ y $1$ .

$x < \frac{25}{8}$

Paso 3.2

Obtén la intersección de $x < \frac{25}{8}$ y $x > \frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{8} < x < \frac{25}{8}$

Paso 4

Obtén la unión de las soluciones.

$- \frac{23}{8} < x < \frac{25}{8}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$- \frac{23}{8} < x < \frac{25}{8}$

Notación de intervalo:

$(- \frac{23}{8}, \frac{25}{8})$

Paso 6