Matemática discreta Ejemplos

$(\frac{1}{3} x + \frac{1}{5}) (\frac{1}{3} x - \frac{1}{2})$

Paso 1

Combina fracciones.

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Paso 1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x$ .

$(\frac{x}{3} + \frac{1}{5}) (\frac{1}{3} x - \frac{1}{2})$

Paso 1.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $x$ .

$(\frac{x}{3} + \frac{1}{5}) (\frac{x}{3} - \frac{1}{2})$

Paso 2

Expande $(\frac{x}{3} + \frac{1}{5}) (\frac{x}{3} - \frac{1}{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x}{3} (\frac{x}{3} - \frac{1}{2}) + \frac{1}{5} (\frac{x}{3} - \frac{1}{2})$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x}{3} \cdot \frac{x}{3} + \frac{x}{3} (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{5} (\frac{x}{3} - \frac{1}{2})$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x}{3} \cdot \frac{x}{3} + \frac{x}{3} (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{5} \cdot \frac{x}{3} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{2})$

Paso 3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Multiplica $\frac{x}{3} \cdot \frac{x}{3}$ .

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Paso 3.1.1.1

Multiplica $\frac{x}{3}$ por $\frac{x}{3}$ .

$\frac{x \cdot x}{3 \cdot 3} + \frac{x}{3} (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{5} \cdot \frac{x}{3} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{2})$

Paso 3.1.1.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{1} x}{3 \cdot 3} + \frac{x}{3} (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{5} \cdot \frac{x}{3} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{2})$

Paso 3.1.1.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{1} x^{1}}{3 \cdot 3} + \frac{x}{3} (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{5} \cdot \frac{x}{3} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{2})$

Paso 3.1.1.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{1 + 1}}{3 \cdot 3} + \frac{x}{3} (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{5} \cdot \frac{x}{3} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{2})$

Paso 3.1.1.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x^{2}}{3 \cdot 3} + \frac{x}{3} (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{5} \cdot \frac{x}{3} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{2})$

Paso 3.1.1.6

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{x}{3} (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{5} \cdot \frac{x}{3} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{2})$

Paso 3.1.2

Multiplica $\frac{x}{3} (- \frac{1}{2})$ .

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Paso 3.1.2.1

Multiplica $\frac{x}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{x}{3 \cdot 2} + \frac{1}{5} \cdot \frac{x}{3} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{2})$

Paso 3.1.2.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{x}{6} + \frac{1}{5} \cdot \frac{x}{3} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{2})$

Paso 3.1.3

Multiplica $\frac{1}{5} \cdot \frac{x}{3}$ .

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Paso 3.1.3.1

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{x}{3}$ .

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{x}{6} + \frac{x}{5 \cdot 3} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{2})$

Paso 3.1.3.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{x}{6} + \frac{x}{15} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{2})$

Paso 3.1.4

Multiplica $\frac{1}{5} (- \frac{1}{2})$ .

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Paso 3.1.4.1

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{x}{6} + \frac{x}{15} - \frac{1}{5 \cdot 2}$

Paso 3.1.4.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{x}{6} + \frac{x}{15} - \frac{1}{10}$

Paso 3.2

Para escribir $- \frac{x}{6}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{x}{6} \cdot \frac{5}{5} + \frac{x}{15} - \frac{1}{10}$

Paso 3.3

Para escribir $\frac{x}{15}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{x}{6} \cdot \frac{5}{5} + \frac{x}{15} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{10}$

Paso 3.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $30$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.4.1

Multiplica $\frac{x}{6}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{x \cdot 5}{6 \cdot 5} + \frac{x}{15} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{10}$

Paso 3.4.2

Multiplica $6$ por $5$ .

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{x \cdot 5}{30} + \frac{x}{15} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{10}$

Paso 3.4.3

Multiplica $\frac{x}{15}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{x \cdot 5}{30} + \frac{x \cdot 2}{15 \cdot 2} - \frac{1}{10}$

Paso 3.4.4

Multiplica $15$ por $2$ .

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{x \cdot 5}{30} + \frac{x \cdot 2}{30} - \frac{1}{10}$

Paso 3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{- x \cdot 5 + x \cdot 2}{30} - \frac{1}{10}$

Paso 3.6

Para escribir $\frac{x^{2}}{9}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{10}{10}$ .

$\frac{x^{2}}{9} \cdot \frac{10}{10} + \frac{- x \cdot 5 + x \cdot 2}{30} - \frac{1}{10}$

Paso 3.7

Para escribir $\frac{- x \cdot 5 + x \cdot 2}{30}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{2}}{9} \cdot \frac{10}{10} + \frac{- x \cdot 5 + x \cdot 2}{30} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{10}$

Paso 3.8

Escribe cada expresión con un denominador común de $90$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.8.1

Multiplica $\frac{x^{2}}{9}$ por $\frac{10}{10}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 10}{9 \cdot 10} + \frac{- x \cdot 5 + x \cdot 2}{30} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{10}$

Paso 3.8.2

Multiplica $9$ por $10$ .

$\frac{x^{2} \cdot 10}{90} + \frac{- x \cdot 5 + x \cdot 2}{30} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{10}$

Paso 3.8.3

Multiplica $\frac{- x \cdot 5 + x \cdot 2}{30}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 10}{90} + \frac{(- x \cdot 5 + x \cdot 2) \cdot 3}{30 \cdot 3} - \frac{1}{10}$

Paso 3.8.4

Multiplica $30$ por $3$ .

$\frac{x^{2} \cdot 10}{90} + \frac{(- x \cdot 5 + x \cdot 2) \cdot 3}{90} - \frac{1}{10}$

Paso 3.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{2} \cdot 10 + (- x \cdot 5 + x \cdot 2) \cdot 3}{90} - \frac{1}{10}$

Paso 3.10

Reordena los términos.

$\frac{10 x^{2} + 3 (- x \cdot 5 + x \cdot 2)}{90} - \frac{1}{10}$

Paso 3.11

Combina $\frac{10 x^{2} + 3 (- x \cdot 5 + x \cdot 2)}{90}$ y $- \frac{1}{10}$ mediante un denominador común.

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Paso 3.11.1

Reordena $x$ y $2$ .

$\frac{10 x^{2} + 3 (- 1 \cdot 5 x + 2 \cdot x)}{90} - \frac{1}{10}$

Paso 3.11.2

Para escribir $- \frac{1}{10}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{10 x^{2} + 3 (- 1 \cdot 5 x + 2 \cdot x)}{90} - \frac{1}{10} \cdot \frac{9}{9}$

Paso 3.11.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $90$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.11.3.1

Multiplica $\frac{1}{10}$ por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{10 x^{2} + 3 (- 1 \cdot 5 x + 2 \cdot x)}{90} - \frac{9}{10 \cdot 9}$

Paso 3.11.3.2

Multiplica $10$ por $9$ .

$\frac{10 x^{2} + 3 (- 1 \cdot 5 x + 2 \cdot x)}{90} - \frac{9}{90}$

Paso 3.11.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{10 x^{2} + 3 (- 1 \cdot 5 x + 2 \cdot x) - 9}{90}$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{10 x^{2} + 3 (- 5 x + 2 x) - 9}{90}$

Paso 4.2

Suma $- 5 x$ y $2 x$ .

$\frac{10 x^{2} + 3 (- 3 x) - 9}{90}$

Paso 4.3

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$\frac{10 x^{2} - 9 x - 9}{90}$

Paso 4.4

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.4.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 10 \cdot - 9 = - 90$ y cuya suma es $b = - 9$ .

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Paso 4.4.1.1

Factoriza $- 9$ de $- 9 x$ .

$\frac{10 x^{2} - 9 (x) - 9}{90}$

Paso 4.4.1.2

Reescribe $- 9$ como $6$ más $- 15$

$\frac{10 x^{2} + (6 - 15) x - 9}{90}$

Paso 4.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{10 x^{2} + 6 x - 15 x - 9}{90}$

Paso 4.4.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.4.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(10 x^{2} + 6 x) - 15 x - 9}{90}$

Paso 4.4.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{2 x (5 x + 3) - 3 (5 x + 3)}{90}$

Paso 4.4.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $5 x + 3$ .

$\frac{(5 x + 3) (2 x - 3)}{90}$