Matemática discreta Ejemplos

$(\sqrt{2} + \sqrt{3 i}) (\sqrt{2} - \sqrt{3 i})$

Paso 1

Expande $(\sqrt{2} + \sqrt{3 i}) (\sqrt{2} - \sqrt{3 i})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{2} (\sqrt{2} - \sqrt{3 i}) + \sqrt{3 i} (\sqrt{2} - \sqrt{3 i})$

Paso 1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{3 i}) + \sqrt{3 i} (\sqrt{2} - \sqrt{3 i})$

Paso 1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{3 i}) + \sqrt{3 i} \sqrt{2} + \sqrt{3 i} (- \sqrt{3 i})$

Paso 2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{2} (- \sqrt{3 i}) + \sqrt{3 i} \sqrt{2} + \sqrt{3 i} (- \sqrt{3 i})$

Paso 2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\sqrt{4} + \sqrt{2} (- \sqrt{3 i}) + \sqrt{3 i} \sqrt{2} + \sqrt{3 i} (- \sqrt{3 i})$

Paso 2.1.3

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2}} + \sqrt{2} (- \sqrt{3 i}) + \sqrt{3 i} \sqrt{2} + \sqrt{3 i} (- \sqrt{3 i})$

Paso 2.1.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$2 + \sqrt{2} (- \sqrt{3 i}) + \sqrt{3 i} \sqrt{2} + \sqrt{3 i} (- \sqrt{3 i})$

Paso 2.1.5

Multiplica $\sqrt{2} (- \sqrt{3 i})$ .

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Paso 2.1.5.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$2 - \sqrt{2 (3 i)} + \sqrt{3 i} \sqrt{2} + \sqrt{3 i} (- \sqrt{3 i})$

Paso 2.1.5.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$2 - \sqrt{6 i} + \sqrt{3 i} \sqrt{2} + \sqrt{3 i} (- \sqrt{3 i})$

Paso 2.1.6

Combina con la regla del producto para radicales.

$2 - \sqrt{6 i} + \sqrt{3 i \cdot 2} + \sqrt{3 i} (- \sqrt{3 i})$

Paso 2.1.7

Multiplica $2$ por $3$ .

$2 - \sqrt{6 i} + \sqrt{6 i} + \sqrt{3 i} (- \sqrt{3 i})$

Paso 2.1.8

Multiplica $\sqrt{3 i} (- \sqrt{3 i})$ .

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Paso 2.1.8.1

Eleva $\sqrt{3 i}$ a la potencia de $1$ .

$2 - \sqrt{6 i} + \sqrt{6 i} - ({\sqrt{3 i}}^{1} \sqrt{3 i})$

Paso 2.1.8.2

Eleva $\sqrt{3 i}$ a la potencia de $1$ .

$2 - \sqrt{6 i} + \sqrt{6 i} - ({\sqrt{3 i}}^{1} {\sqrt{3 i}}^{1})$

Paso 2.1.8.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 - \sqrt{6 i} + \sqrt{6 i} - {\sqrt{3 i}}^{1 + 1}$

Paso 2.1.8.4

Suma $1$ y $1$ .

$2 - \sqrt{6 i} + \sqrt{6 i} - {\sqrt{3 i}}^{2}$

Paso 2.1.9

Reescribe ${\sqrt{3 i}}^{2}$ como $3 i$ .

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Paso 2.1.9.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 i}$ como ${(3 i)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 - \sqrt{6 i} + \sqrt{6 i} - {({(3 i)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 2.1.9.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 - \sqrt{6 i} + \sqrt{6 i} - {(3 i)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 2.1.9.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$2 - \sqrt{6 i} + \sqrt{6 i} - {(3 i)}^{\frac{2}{2}}$

Paso 2.1.9.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.9.4.1

Cancela el factor común.

$2 - \sqrt{6 i} + \sqrt{6 i} - {(3 i)}^{\frac{2}{2}}$

Paso 2.1.9.4.2

Reescribe la expresión.

$2 - \sqrt{6 i} + \sqrt{6 i} - {(3 i)}^{1}$

Paso 2.1.9.5

Simplifica.

$2 - \sqrt{6 i} + \sqrt{6 i} - (3 i)$

Paso 2.1.10

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$2 - \sqrt{6 i} + \sqrt{6 i} - 3 i$

Paso 2.2

Suma $- \sqrt{6 i}$ y $\sqrt{6 i}$ .

$2 + 0 - 3 i$

Paso 2.3

Suma $2$ y $0$ .

$2 - 3 i$