Matemática discreta Ejemplos

${(\frac{1}{\sqrt{32}})}^{- \frac{2}{5}}$

Paso 1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1

Reescribe $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $16$ de $32$ .

${(\frac{1}{\sqrt{16 (2)}})}^{- \frac{2}{5}}$

Paso 1.1.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

${(\frac{1}{\sqrt{4^{2} \cdot 2}})}^{- \frac{2}{5}}$

Paso 1.2

Retira los términos de abajo del radical.

${(\frac{1}{4 \sqrt{2}})}^{- \frac{2}{5}}$

Paso 2

Multiplica $\frac{1}{4 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{1}{4 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{- \frac{2}{5}}$

Paso 3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{1}{4 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{4 \sqrt{2} \sqrt{2}})}^{- \frac{2}{5}}$

Paso 3.2

Mueve $\sqrt{2}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{4 (\sqrt{2} \sqrt{2})})}^{- \frac{2}{5}}$

Paso 3.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{4 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})})}^{- \frac{2}{5}}$

Paso 3.4

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{4 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})})}^{- \frac{2}{5}}$

Paso 3.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${(\frac{\sqrt{2}}{4 {\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{- \frac{2}{5}}$

Paso 3.6

Suma $1$ y $1$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{4 {\sqrt{2}}^{2}})}^{- \frac{2}{5}}$

Paso 3.7

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 3.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{- \frac{2}{5}}$

Paso 3.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{- \frac{2}{5}}$

Paso 3.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})}^{- \frac{2}{5}}$

Paso 3.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.7.4.1

Cancela el factor común.

${(\frac{\sqrt{2}}{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})}^{- \frac{2}{5}}$

Paso 3.7.4.2

Reescribe la expresión.

${(\frac{\sqrt{2}}{4 \cdot 2^{1}})}^{- \frac{2}{5}}$

Paso 3.7.5

Evalúa el exponente.

${(\frac{\sqrt{2}}{4 \cdot 2})}^{- \frac{2}{5}}$

Paso 4

Multiplica $4$ por $2$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{8})}^{- \frac{2}{5}}$

Paso 5

Cambia el signo del exponente; para ello, reescribe la base como su recíproca.

${(\frac{8}{\sqrt{2}})}^{\frac{2}{5}}$

Paso 6

Multiplica $\frac{8}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{8}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{\frac{2}{5}}$

Paso 7

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 7.1

Multiplica $\frac{8}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{8 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{\frac{2}{5}}$

Paso 7.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

${(\frac{8 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{\frac{2}{5}}$

Paso 7.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

${(\frac{8 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{\frac{2}{5}}$

Paso 7.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${(\frac{8 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{\frac{2}{5}}$

Paso 7.5

Suma $1$ y $1$ .

${(\frac{8 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{\frac{2}{5}}$

Paso 7.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(\frac{8 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{\frac{2}{5}}$

Paso 7.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{8 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{\frac{2}{5}}$

Paso 7.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

${(\frac{8 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{\frac{2}{5}}$

Paso 7.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.6.4.1

Cancela el factor común.

${(\frac{8 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{\frac{2}{5}}$

Paso 7.6.4.2

Reescribe la expresión.

${(\frac{8 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{\frac{2}{5}}$

Paso 7.6.5

Evalúa el exponente.

${(\frac{8 \sqrt{2}}{2})}^{\frac{2}{5}}$

Paso 8

Cancela el factor común de $8$ y $2$ .

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Paso 8.1

Factoriza $2$ de $8 \sqrt{2}$ .

${(\frac{2 (4 \sqrt{2})}{2})}^{\frac{2}{5}}$

Paso 8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

${(\frac{2 (4 \sqrt{2})}{2 (1)})}^{\frac{2}{5}}$

Paso 8.2.2

Cancela el factor común.

${(\frac{2 (4 \sqrt{2})}{2 \cdot 1})}^{\frac{2}{5}}$

Paso 8.2.3

Reescribe la expresión.

${(\frac{4 \sqrt{2}}{1})}^{\frac{2}{5}}$

Paso 8.2.4

Divide $4 \sqrt{2}$ por $1$ .

${(4 \sqrt{2})}^{\frac{2}{5}}$

Paso 9

Aplica la regla del producto a $4 \sqrt{2}$ .

$4^{\frac{2}{5}} {\sqrt{2}}^{\frac{2}{5}}$

Paso 10

Reescribe ${\sqrt{2}}^{\frac{2}{5}}$ como $\sqrt[5]{2}$ .

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Paso 10.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$4^{\frac{2}{5}} {(2^{\frac{1}{2}})}^{\frac{2}{5}}$

Paso 10.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4^{\frac{2}{5}} \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5}}$

Paso 10.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{5}$ .

$4^{\frac{2}{5}} \cdot 2^{\frac{2}{2 \cdot 5}}$

Paso 10.4

Multiplica $2$ por $5$ .

$4^{\frac{2}{5}} \cdot 2^{\frac{2}{10}}$

Paso 10.5

Cancela el factor común de $2$ y $10$ .

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Paso 10.5.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$4^{\frac{2}{5}} \cdot 2^{\frac{2 (1)}{10}}$

Paso 10.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.5.2.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$4^{\frac{2}{5}} \cdot 2^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 5}}$

Paso 10.5.2.2

Cancela el factor común.

$4^{\frac{2}{5}} \cdot 2^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 5}}$

Paso 10.5.2.3

Reescribe la expresión.

$4^{\frac{2}{5}} \cdot 2^{\frac{1}{5}}$

Paso 10.6

Reescribe $2^{\frac{1}{5}}$ como $\sqrt[5]{2}$ .

$4^{\frac{2}{5}} \sqrt[5]{2}$

Paso 11

Multiplica $4^{\frac{2}{5}} \sqrt[5]{2}$ .

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Paso 11.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[5]{2}$ como $2^{\frac{1}{5}}$ .

$4^{\frac{2}{5}} \cdot 2^{\frac{1}{5}}$

Paso 11.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

${(2^{2})}^{\frac{2}{5}} \cdot 2^{\frac{1}{5}}$

Paso 11.3

Multiplica los exponentes en ${(2^{2})}^{\frac{2}{5}}$ .

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Paso 11.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{2 (\frac{2}{5})} \cdot 2^{\frac{1}{5}}$

Paso 11.3.2

Multiplica $2 (\frac{2}{5})$ .

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Paso 11.3.2.1

Combina $2$ y $\frac{2}{5}$ .

$2^{\frac{2 \cdot 2}{5}} \cdot 2^{\frac{1}{5}}$

Paso 11.3.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$2^{\frac{4}{5}} \cdot 2^{\frac{1}{5}}$

Paso 11.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2^{\frac{4}{5} + \frac{1}{5}}$

Paso 11.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2^{\frac{4 + 1}{5}}$

Paso 11.6

Suma $4$ y $1$ .

$2^{\frac{5}{5}}$

Paso 11.7

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 11.7.1

Cancela el factor común.

$2^{\frac{5}{5}}$

Paso 11.7.2

Reescribe la expresión.

$2^{1}$

Paso 12

Evalúa el exponente.

$2$