Matemática discreta Ejemplos

${(- 1 + y)}^{2} + y^{2} = 421$

Paso 1

Resta $421$ de ambos lados de la ecuación.

${(- 1 + y)}^{2} + y^{2} - 421 = 0$

Paso 2

Simplifica ${(- 1 + y)}^{2} + y^{2} - 421$ .

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Reescribe ${(- 1 + y)}^{2}$ como $(- 1 + y) (- 1 + y)$ .

$(- 1 + y) (- 1 + y) + y^{2} - 421 = 0$

Paso 2.1.2

Expande $(- 1 + y) (- 1 + y)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 1 (- 1 + y) + y (- 1 + y) + y^{2} - 421 = 0$

Paso 2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 1 \cdot - 1 - 1 y + y (- 1 + y) + y^{2} - 421 = 0$

Paso 2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 1 \cdot - 1 - 1 y + y \cdot - 1 + y \cdot y + y^{2} - 421 = 0$

Paso 2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.3.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 - 1 y + y \cdot - 1 + y \cdot y + y^{2} - 421 = 0$

Paso 2.1.3.1.2

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

$1 - y + y \cdot - 1 + y \cdot y + y^{2} - 421 = 0$

Paso 2.1.3.1.3

Mueve $- 1$ a la izquierda de $y$ .

$1 - y - 1 \cdot y + y \cdot y + y^{2} - 421 = 0$

Paso 2.1.3.1.4

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

$1 - y - y + y \cdot y + y^{2} - 421 = 0$

Paso 2.1.3.1.5

Multiplica $y$ por $y$ .

$1 - y - y + y^{2} + y^{2} - 421 = 0$

Paso 2.1.3.2

Resta $y$ de $- y$ .

$1 - 2 y + y^{2} + y^{2} - 421 = 0$

Paso 2.2

Resta $421$ de $1$ .

$- 2 y + y^{2} + y^{2} - 420 = 0$

Paso 2.3

Suma $y^{2}$ y $y^{2}$ .

$- 2 y + 2 y^{2} - 420 = 0$

Paso 3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1

Factoriza $2$ de $- 2 y + 2 y^{2} - 420$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 y$ .

$2 (- y) + 2 y^{2} - 420 = 0$

Paso 3.1.2

Factoriza $2$ de $2 y^{2}$ .

$2 (- y) + 2 (y^{2}) - 420 = 0$

Paso 3.1.3

Factoriza $2$ de $- 420$ .

$2 (- y) + 2 y^{2} + 2 \cdot - 210 = 0$

Paso 3.1.4

Factoriza $2$ de $2 (- y) + 2 y^{2}$ .

$2 (- y + y^{2}) + 2 \cdot - 210 = 0$

Paso 3.1.5

Factoriza $2$ de $2 (- y + y^{2}) + 2 \cdot - 210$ .

$2 (- y + y^{2} - 210) = 0$

Paso 3.2

Sea $u = y$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $y$ .

$2 (- u + u^{2} - 210) = 0$

Paso 3.3

Factoriza $- u + u^{2} - 210$ con el método AC.

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Paso 3.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 210$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 15, 14$

Paso 3.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$2 ((u - 15) (u + 14)) = 0$

Paso 3.4

Factoriza.

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Paso 3.4.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$2 ((y - 15) (y + 14)) = 0$

Paso 3.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (y - 15) (y + 14) = 0$

Paso 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$y - 15 = 0$

$y + 14 = 0$

Paso 5

Establece $y - 15$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 5.1

Establece $y - 15$ igual a $0$ .

$y - 15 = 0$

Paso 5.2

Suma $15$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 15$

Paso 6

Establece $y + 14$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 6.1

Establece $y + 14$ igual a $0$ .

$y + 14 = 0$

Paso 6.2

Resta $14$ de ambos lados de la ecuación.

$y = - 14$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 (y - 15) (y + 14) = 0$ verdadera.

$y = 15, - 14$