Matemática discreta Ejemplos

$x - \frac{1}{2 - 3 x} > \frac{2 x - 1}{2} + \frac{6 x + 1}{3 x - 2}$

Paso 1

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Resta $\frac{2 x - 1}{2}$ de ambos lados de la desigualdad.

$x - \frac{1}{2 - 3 x} - \frac{2 x - 1}{2} > \frac{6 x + 1}{3 x - 2}$

Paso 1.2

Resta $\frac{6 x + 1}{3 x - 2}$ de ambos lados de la desigualdad.

$x - \frac{1}{2 - 3 x} - \frac{2 x - 1}{2} - \frac{6 x + 1}{3 x - 2} > 0$

Paso 2

Simplifica $x - \frac{1}{2 - 3 x} - \frac{2 x - 1}{2} - \frac{6 x + 1}{3 x - 2}$ .

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Paso 2.1

Para escribir $x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 - 3 x}{2 - 3 x}$ .

$\frac{x (2 - 3 x)}{2 - 3 x} - \frac{1}{2 - 3 x} - \frac{2 x - 1}{2} - \frac{6 x + 1}{3 x - 2} > 0$

Paso 2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x (2 - 3 x) - 1}{2 - 3 x} - \frac{2 x - 1}{2} - \frac{6 x + 1}{3 x - 2} > 0$

Paso 2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot 2 + x (- 3 x) - 1}{2 - 3 x} - \frac{2 x - 1}{2} - \frac{6 x + 1}{3 x - 2} > 0$

Paso 2.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{2 \cdot x + x (- 3 x) - 1}{2 - 3 x} - \frac{2 x - 1}{2} - \frac{6 x + 1}{3 x - 2} > 0$

Paso 2.3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 \cdot x - 3 x \cdot x - 1}{2 - 3 x} - \frac{2 x - 1}{2} - \frac{6 x + 1}{3 x - 2} > 0$

Paso 2.3.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.4.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x - 3 (x \cdot x) - 1}{2 - 3 x} - \frac{2 x - 1}{2} - \frac{6 x + 1}{3 x - 2} > 0$

Paso 2.3.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x - 3 x^{2} - 1}{2 - 3 x} - \frac{2 x - 1}{2} - \frac{6 x + 1}{3 x - 2} > 0$

Paso 2.3.5

Reordena los términos.

$\frac{- 3 x^{2} + 2 x - 1}{2 - 3 x} - \frac{2 x - 1}{2} - \frac{6 x + 1}{3 x - 2} > 0$

Paso 2.4

Para escribir $\frac{- 3 x^{2} + 2 x - 1}{2 - 3 x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 2 x - 1}{2 - 3 x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{2 x - 1}{2} - \frac{6 x + 1}{3 x - 2} > 0$

Paso 2.5

Para escribir $- \frac{2 x - 1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 - 3 x}{2 - 3 x}$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 2 x - 1}{2 - 3 x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{2 x - 1}{2} \cdot \frac{2 - 3 x}{2 - 3 x} - \frac{6 x + 1}{3 x - 2} > 0$

Paso 2.6

Escribe cada expresión con un denominador común de $(2 - 3 x) \cdot 2$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.6.1

Multiplica $\frac{- 3 x^{2} + 2 x - 1}{2 - 3 x}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(- 3 x^{2} + 2 x - 1) \cdot 2}{(2 - 3 x) \cdot 2} - \frac{2 x - 1}{2} \cdot \frac{2 - 3 x}{2 - 3 x} - \frac{6 x + 1}{3 x - 2} > 0$

Paso 2.6.2

Multiplica $\frac{2 x - 1}{2}$ por $\frac{2 - 3 x}{2 - 3 x}$ .

$\frac{(- 3 x^{2} + 2 x - 1) \cdot 2}{(2 - 3 x) \cdot 2} - \frac{(2 x - 1) (2 - 3 x)}{2 (2 - 3 x)} - \frac{6 x + 1}{3 x - 2} > 0$

Paso 2.6.3

Reordena los factores de $(2 - 3 x) \cdot 2$ .

$\frac{(- 3 x^{2} + 2 x - 1) \cdot 2}{2 (2 - 3 x)} - \frac{(2 x - 1) (2 - 3 x)}{2 (2 - 3 x)} - \frac{6 x + 1}{3 x - 2} > 0$

Paso 2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(- 3 x^{2} + 2 x - 1) \cdot 2 - (2 x - 1) (2 - 3 x)}{2 (2 - 3 x)} - \frac{6 x + 1}{3 x - 2} > 0$

Paso 2.8

Simplifica cada término.

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Paso 2.8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.8.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 3 x^{2} \cdot 2 + 2 x \cdot 2 - 1 \cdot 2 - (2 x - 1) (2 - 3 x)}{2 (2 - 3 x)} - \frac{6 x + 1}{3 x - 2} > 0$

Paso 2.8.1.2

Simplifica.

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Paso 2.8.1.2.1

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$\frac{- 6 x^{2} + 2 x \cdot 2 - 1 \cdot 2 - (2 x - 1) (2 - 3 x)}{2 (2 - 3 x)} - \frac{6 x + 1}{3 x - 2} > 0$

Paso 2.8.1.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{- 6 x^{2} + 4 x - 1 \cdot 2 - (2 x - 1) (2 - 3 x)}{2 (2 - 3 x)} - \frac{6 x + 1}{3 x - 2} > 0$

Paso 2.8.1.2.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 6 x^{2} + 4 x - 2 - (2 x - 1) (2 - 3 x)}{2 (2 - 3 x)} - \frac{6 x + 1}{3 x - 2} > 0$

Paso 2.8.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 6 x^{2} + 4 x - 2 + (- (2 x) - - 1) (2 - 3 x)}{2 (2 - 3 x)} - \frac{6 x + 1}{3 x - 2} > 0$

Paso 2.8.1.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 6 x^{2} + 4 x - 2 + (- 2 x - - 1) (2 - 3 x)}{2 (2 - 3 x)} - \frac{6 x + 1}{3 x - 2} > 0$

Paso 2.8.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- 6 x^{2} + 4 x - 2 + (- 2 x + 1) (2 - 3 x)}{2 (2 - 3 x)} - \frac{6 x + 1}{3 x - 2} > 0$

Paso 2.8.1.6

Expande $(- 2 x + 1) (2 - 3 x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.8.1.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 6 x^{2} + 4 x - 2 - 2 x (2 - 3 x) + 1 (2 - 3 x)}{2 (2 - 3 x)} - \frac{6 x + 1}{3 x - 2} > 0$

Paso 2.8.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 6 x^{2} + 4 x - 2 - 2 x \cdot 2 - 2 x (- 3 x) + 1 (2 - 3 x)}{2 (2 - 3 x)} - \frac{6 x + 1}{3 x - 2} > 0$

Paso 2.8.1.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 6 x^{2} + 4 x - 2 - 2 x \cdot 2 - 2 x (- 3 x) + 1 \cdot 2 + 1 (- 3 x)}{2 (2 - 3 x)} - \frac{6 x + 1}{3 x - 2} > 0$

Paso 2.8.1.7

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.8.1.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.8.1.7.1.1

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{- 6 x^{2} + 4 x - 2 - 4 x - 2 x (- 3 x) + 1 \cdot 2 + 1 (- 3 x)}{2 (2 - 3 x)} - \frac{6 x + 1}{3 x - 2} > 0$

Paso 2.8.1.7.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{- 6 x^{2} + 4 x - 2 - 4 x - 2 \cdot - 3 x \cdot x + 1 \cdot 2 + 1 (- 3 x)}{2 (2 - 3 x)} - \frac{6 x + 1}{3 x - 2} > 0$

Paso 2.8.1.7.1.3

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.8.1.7.1.3.1

Mueve $x$ .

$\frac{- 6 x^{2} + 4 x - 2 - 4 x - 2 \cdot - 3 (x \cdot x) + 1 \cdot 2 + 1 (- 3 x)}{2 (2 - 3 x)} - \frac{6 x + 1}{3 x - 2} > 0$

Paso 2.8.1.7.1.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{- 6 x^{2} + 4 x - 2 - 4 x - 2 \cdot - 3 x^{2} + 1 \cdot 2 + 1 (- 3 x)}{2 (2 - 3 x)} - \frac{6 x + 1}{3 x - 2} > 0$

Paso 2.8.1.7.1.4

Multiplica $- 2$ por $- 3$ .

$\frac{- 6 x^{2} + 4 x - 2 - 4 x + 6 x^{2} + 1 \cdot 2 + 1 (- 3 x)}{2 (2 - 3 x)} - \frac{6 x + 1}{3 x - 2} > 0$

Paso 2.8.1.7.1.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{- 6 x^{2} + 4 x - 2 - 4 x + 6 x^{2} + 2 + 1 (- 3 x)}{2 (2 - 3 x)} - \frac{6 x + 1}{3 x - 2} > 0$

Paso 2.8.1.7.1.6

Multiplica $- 3 x$ por $1$ .

$\frac{- 6 x^{2} + 4 x - 2 - 4 x + 6 x^{2} + 2 - 3 x}{2 (2 - 3 x)} - \frac{6 x + 1}{3 x - 2} > 0$

Paso 2.8.1.7.2

Resta $3 x$ de $- 4 x$ .

$\frac{- 6 x^{2} + 4 x - 2 - 7 x + 6 x^{2} + 2}{2 (2 - 3 x)} - \frac{6 x + 1}{3 x - 2} > 0$

Paso 2.8.1.8

Suma $- 6 x^{2}$ y $6 x^{2}$ .

$\frac{4 x - 2 - 7 x + 0 + 2}{2 (2 - 3 x)} - \frac{6 x + 1}{3 x - 2} > 0$

Paso 2.8.1.9

Resta $7 x$ de $4 x$ .

$\frac{- 3 x - 2 + 0 + 2}{2 (2 - 3 x)} - \frac{6 x + 1}{3 x - 2} > 0$

Paso 2.8.1.10

Suma $- 3 x$ y $0$ .

$\frac{- 3 x - 2 + 2}{2 (2 - 3 x)} - \frac{6 x + 1}{3 x - 2} > 0$

Paso 2.8.1.11

Suma $- 2$ y $2$ .

$\frac{- 3 x + 0}{2 (2 - 3 x)} - \frac{6 x + 1}{3 x - 2} > 0$

Paso 2.8.1.12

Suma $- 3 x$ y $0$ .

$\frac{- 3 x}{2 (2 - 3 x)} - \frac{6 x + 1}{3 x - 2} > 0$

Paso 2.8.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3 x}{2 (2 - 3 x)} - \frac{6 x + 1}{3 x - 2} > 0$

Paso 2.9

Factoriza $- 1$ de $3 x$ .

$- \frac{3 x}{2 (2 - 3 x)} - \frac{6 x + 1}{- (- 3 x) - 2} > 0$

Paso 2.10

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$- \frac{3 x}{2 (2 - 3 x)} - \frac{6 x + 1}{- (- 3 x) - 1 (2)} > 0$

Paso 2.11

Factoriza $- 1$ de $- (- 3 x) - 1 (2)$ .

$- \frac{3 x}{2 (2 - 3 x)} - \frac{6 x + 1}{- (- 3 x + 2)} > 0$

Paso 2.12

Reordena los términos.

$- \frac{3 x}{2 (- 3 x + 2)} - \frac{6 x + 1}{- (- 3 x + 2)} > 0$

Paso 2.13

Para escribir $- \frac{6 x + 1}{- (- 3 x + 2)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{- 2}{- 2}$ .

$- \frac{3 x}{2 (- 3 x + 2)} - \frac{6 x + 1}{- (- 3 x + 2)} \cdot \frac{- 2}{- 2} > 0$

Paso 2.14

Escribe cada expresión con un denominador común de $2 (- 3 x + 2)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.14.1

Multiplica $\frac{6 x + 1}{- (- 3 x + 2)}$ por $\frac{- 2}{- 2}$ .

$- \frac{3 x}{2 (- 3 x + 2)} - \frac{(6 x + 1) \cdot - 2}{- (- 3 x + 2) \cdot - 2} > 0$

Paso 2.14.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$- \frac{3 x}{2 (- 3 x + 2)} - \frac{(6 x + 1) \cdot - 2}{2 (- 3 x + 2)} > 0$

Paso 2.15

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 3 x - (6 x + 1) \cdot - 2}{2 (- 3 x + 2)} > 0$

Paso 2.16

Simplifica el numerador.

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Paso 2.16.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 3 x + (- (6 x) - 1 \cdot 1) \cdot - 2}{2 (- 3 x + 2)} > 0$

Paso 2.16.2

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$\frac{- 3 x + (- 6 x - 1 \cdot 1) \cdot - 2}{2 (- 3 x + 2)} > 0$

Paso 2.16.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 3 x + (- 6 x - 1) \cdot - 2}{2 (- 3 x + 2)} > 0$

Paso 2.16.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 3 x - 6 x \cdot - 2 - 1 \cdot - 2}{2 (- 3 x + 2)} > 0$

Paso 2.16.5

Multiplica $- 2$ por $- 6$ .

$\frac{- 3 x + 12 x - 1 \cdot - 2}{2 (- 3 x + 2)} > 0$

Paso 2.16.6

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 3 x + 12 x + 2}{2 (- 3 x + 2)} > 0$

Paso 2.16.7

Suma $- 3 x$ y $12 x$ .

$\frac{9 x + 2}{2 (- 3 x + 2)} > 0$

Paso 2.17

Factoriza $- 1$ de $- 3 x$ .

$\frac{9 x + 2}{2 (- (3 x) + 2)} > 0$

Paso 2.18

Reescribe $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{9 x + 2}{2 (- (3 x) - 1 (- 2))} > 0$

Paso 2.19

Factoriza $- 1$ de $- (3 x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{9 x + 2}{2 (- (3 x - 2))} > 0$

Paso 2.20

Reescribe $- (3 x - 2)$ como $- 1 (3 x - 2)$ .

$\frac{9 x + 2}{2 (- 1 (3 x - 2))} > 0$

Paso 2.21

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{9 x + 2}{2 (3 x - 2)} > 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$9 x + 2 = 0$

$3 x - 2 = 0$

Paso 4

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$9 x = - 2$

Paso 5

Divide cada término en $9 x = - 2$ por $9$ y simplifica.

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Paso 5.1

Divide cada término en $9 x = - 2$ por $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{- 2}{9}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 x}{9} = \frac{- 2}{9}$

Paso 5.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{9}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{2}{9}$

Paso 6

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 2$

Paso 7

Divide cada término en $3 x = 2$ por $3$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $3 x = 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Paso 7.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Paso 8

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = - \frac{2}{9}$

$x = \frac{2}{3}$

Paso 9

Consolida las soluciones.

$x = - \frac{2}{9}, \frac{2}{3}$

Paso 10

Obtén el dominio de $- \frac{9 x + 2}{2 (3 x - 2)}$ .

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Paso 10.1

Establece el denominador en $\frac{9 x + 2}{2 (3 x - 2)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$2 (3 x - 2) = 0$

Paso 10.2

Resuelve $x$

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Paso 10.2.1

Divide cada término en $2 (3 x - 2) = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 10.2.1.1

Divide cada término en $2 (3 x - 2) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (3 x - 2)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 10.2.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.2.1.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.2.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (3 x - 2)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 10.2.1.2.1.2

Divide $3 x - 2$ por $1$ .

$3 x - 2 = \frac{0}{2}$

Paso 10.2.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.2.1.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$3 x - 2 = 0$

Paso 10.2.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 2$

Paso 10.2.3

Divide cada término en $3 x = 2$ por $3$ y simplifica.

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Paso 10.2.3.1

Divide cada término en $3 x = 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Paso 10.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.2.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 10.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Paso 10.2.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Paso 10.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, \frac{2}{3}) \cup (\frac{2}{3}, \infty)$

Paso 11

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - \frac{2}{9}$

$- \frac{2}{9} < x < \frac{2}{3}$

$x > \frac{2}{3}$

Paso 12

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 12.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - \frac{2}{9}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - \frac{2}{9}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 3$

Paso 12.1.2

Reemplaza $x$ con $- 3$ en la desigualdad original.

$(- 3) - \frac{1}{2 - 3 \cdot - 3} > \frac{2 (- 3) - 1}{2} + \frac{6 (- 3) + 1}{3 (- 3) - 2}$

Paso 12.1.3

$- 3.\overline{09}$ del lado izquierdo no es mayor que $- 1.9\overline{54}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 12.2

Prueba un valor en el intervalo $- \frac{2}{9} < x < \frac{2}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.2.1

Elije un valor en el intervalo $- \frac{2}{9} < x < \frac{2}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 12.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$(0) - \frac{1}{2 - 3 \cdot 0} > \frac{2 (0) - 1}{2} + \frac{6 (0) + 1}{3 (0) - 2}$

Paso 12.2.3

$- 0.5$ del lado izquierdo es mayor que $- 1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 12.3

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{2}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{2}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 12.3.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

$(3) - \frac{1}{2 - 3 \cdot 3} > \frac{2 (3) - 1}{2} + \frac{6 (3) + 1}{3 (3) - 2}$

Paso 12.3.3

$3.\overline{142857}$ del lado izquierdo no es mayor que $5.2\overline{142857}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 12.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - \frac{2}{9}$ Falso

$- \frac{2}{9} < x < \frac{2}{3}$ Verdadero

$x > \frac{2}{3}$ Falso

$x < - \frac{2}{9}$ Falso

$- \frac{2}{9} < x < \frac{2}{3}$ Verdadero

$x > \frac{2}{3}$ Falso

Paso 13

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- \frac{2}{9} < x < \frac{2}{3}$

Paso 14

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$- \frac{2}{9} < x < \frac{2}{3}$

Notación de intervalo:

$(- \frac{2}{9}, \frac{2}{3})$

Paso 15