Matemática discreta Ejemplos

$\log (x - 2) - \log (2 x + 1) = \log (\frac{1}{x})$

Paso 1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x - 2}{2 x + 1}) = \log (\frac{1}{x})$

Paso 2

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

$\frac{x - 2}{2 x + 1} = \frac{1}{x}$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción. Establece esto igual al producto del denominador de la primera fracción y al numerador de la segunda fracción.

$(x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1$

Paso 3.2

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 3.2.1

Simplifica $(x - 2) x$ .

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Paso 3.2.1.1

Reescribe.

$0 + 0 + (x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1$

Paso 3.2.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$(x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1$

Paso 3.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x - 2 x = (2 x + 1) \cdot 1$

Paso 3.2.1.4

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} - 2 x = (2 x + 1) \cdot 1$

Paso 3.2.2

Multiplica $2 x + 1$ por $1$ .

$x^{2} - 2 x = 2 x + 1$

Paso 3.2.3

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.3.1

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 2 x - 2 x = 1$

Paso 3.2.3.2

Resta $2 x$ de $- 2 x$ .

$x^{2} - 4 x = 1$

Paso 3.2.4

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 4 x - 1 = 0$

Paso 3.2.5

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.2.6

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 4$ y $c = - 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.7

Simplifica.

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Paso 3.2.7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.7.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Paso 3.2.7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.7.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.7.1.3

Suma $16$ y $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.7.1.4

Reescribe $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Paso 3.2.7.1.4.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.7.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.7.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.7.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Paso 3.2.7.3

Simplifica $\frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{5}$

Paso 3.2.8

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\log (x - 2) - \log (2 x + 1) = \log (\frac{1}{x})$ sea verdadera.

$x = 2 + \sqrt{5}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = 2 + \sqrt{5}$

Forma decimal:

$x = 4.23606797 \dots$