Matemática discreta Ejemplos

log (x - 2) - log (2 x + 1) = log (\frac{1}{x})

$\log (x - 2) - \log (2 x + 1) = \log (\frac{1}{x})$

Paso 1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos,

{log}_{b} (x) - {log}_{b} (y) = {log}_{b} (\frac{x}{y})

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

log (\frac{x - 2}{2 x + 1}) = log (\frac{1}{x})

$\log (\frac{x - 2}{2 x + 1}) = \log (\frac{1}{x})$

Paso 2

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

\frac{x - 2}{2 x + 1} = \frac{1}{x}

$\frac{x - 2}{2 x + 1} = \frac{1}{x}$

Paso 3

Resuelve

x

$x$

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Paso 3.1

Multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción. Establece esto igual al producto del denominador de la primera fracción y al numerador de la segunda fracción.

(x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1

$(x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1$

Paso 3.2

Resuelve la ecuación en

x

$x$ .

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Paso 3.2.1

Simplifica

(x - 2) x

$(x - 2) x$ .

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Paso 3.2.1.1

Reescribe.

0 + 0 + (x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1

$0 + 0 + (x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1$

Paso 3.2.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

(x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1

$(x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1$

Paso 3.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

x \cdot x - 2 x = (2 x + 1) \cdot 1

$x \cdot x - 2 x = (2 x + 1) \cdot 1$

Paso 3.2.1.4

Multiplica

x

$x$ por

x

$x$ .

x^{2} - 2 x = (2 x + 1) \cdot 1

$x^{2} - 2 x = (2 x + 1) \cdot 1$

x^{2} - 2 x = (2 x + 1) \cdot 1

$x^{2} - 2 x = (2 x + 1) \cdot 1$

Paso 3.2.2

Multiplica

2 x + 1

$2 x + 1$ por

1

$1$ .

x^{2} - 2 x = 2 x + 1

$x^{2} - 2 x = 2 x + 1$

Paso 3.2.3

Mueve todos los términos que contengan

x

$x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.3.1

Resta

2 x

$2 x$ de ambos lados de la ecuación.

x^{2} - 2 x - 2 x = 1

$x^{2} - 2 x - 2 x = 1$

Paso 3.2.3.2

Resta

2 x

$2 x$ de

- 2 x

$- 2 x$ .

x^{2} - 4 x = 1

$x^{2} - 4 x = 1$

x^{2} - 4 x = 1

$x^{2} - 4 x = 1$

Paso 3.2.4

Resta

1

$1$ de ambos lados de la ecuación.

x^{2} - 4 x - 1 = 0

$x^{2} - 4 x - 1 = 0$

Paso 3.2.5

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.2.6

Sustituye los valores

a = 1

$a = 1$ ,

b = - 4

$b = - 4$ y

c = - 1

$c = - 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve

x

$x$ .

\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.7

Simplifica.

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Paso 3.2.7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.7.1.1

Eleva

- 4

$- 4$ a la potencia de

2

$2$ .

x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.7.1.2

Multiplica

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Paso 3.2.7.1.2.1

Multiplica

$- 4$ por

$1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.7.1.2.2

Multiplica

$- 4$ por

$- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.7.1.3

Suma

$16$ y

$4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.7.1.4

Reescribe

$20$ como

$2^{2} \cdot 5$ .

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Paso 3.2.7.1.4.1

Factoriza

$4$ de

$20$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.7.1.4.2

Reescribe

$4$ como

$2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.7.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2.7.2

Multiplica

$2$ por

$1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Paso 3.2.7.3

Simplifica

$\frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{5}$

Paso 3.2.8

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que

$\log (x - 2) - \log (2 x + 1) = \log (\frac{1}{x})$ sea verdadera.

$x = 2 + \sqrt{5}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = 2 + \sqrt{5}$

Forma decimal:

$x = 4.23606797 \dots$