Matemática discreta Ejemplos

$5 \sin (x) + 2 \cos (x) = 5$

Paso 1

Usa la identidad para resolver la ecuación. En esta identidad, $θ$ representa el ángulo creado al trazar el punto $(a, b)$ en una gráfica y, por lo tanto, se puede obtener con $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ .

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ donde $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ y $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$

Paso 2

Establece la ecuación para obtener el valor de $θ$ .

$\tan^{-1} (\frac{2}{5})$

Paso 3

Evalúa $\tan^{-1} (\frac{2}{5})$ .

$θ = 0.38050637$

Paso 4

Resuelve para obtener el valor de $R$ .

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Paso 4.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$R = \sqrt{25 + {(2)}^{2}}$

Paso 4.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$R = \sqrt{25 + 4}$

Paso 4.3

Suma $25$ y $4$ .

$R = \sqrt{29}$

Paso 5

Sustituye los valores conocidos en la ecuación.

$(\sqrt{29}) \sin (x + 0.38050637) = 5$

Paso 6

Divide cada término en $\sqrt{29} \sin (x + 0.38050637) = 5$ por $\sqrt{29}$ y simplifica.

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Paso 6.1

Divide cada término en $\sqrt{29} \sin (x + 0.38050637) = 5$ por $\sqrt{29}$ .

$\frac{\sqrt{29} \sin (x + 0.38050637)}{\sqrt{29}} = \frac{5}{\sqrt{29}}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común de $\sqrt{29}$ .

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{29} \sin (x + 0.38050637)}{\sqrt{29}} = \frac{5}{\sqrt{29}}$

Paso 6.2.1.2

Divide $\sin (x + 0.38050637)$ por $1$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5}{\sqrt{29}}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Multiplica $\frac{5}{\sqrt{29}}$ por $\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}}$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5}{\sqrt{29}} \cdot \frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}}$

Paso 6.3.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 6.3.2.1

Multiplica $\frac{5}{\sqrt{29}}$ por $\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}}$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{\sqrt{29} \sqrt{29}}$

Paso 6.3.2.2

Eleva $\sqrt{29}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{{\sqrt{29}}^{1} \sqrt{29}}$

Paso 6.3.2.3

Eleva $\sqrt{29}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{{\sqrt{29}}^{1} {\sqrt{29}}^{1}}$

Paso 6.3.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{{\sqrt{29}}^{1 + 1}}$

Paso 6.3.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{{\sqrt{29}}^{2}}$

Paso 6.3.2.6

Reescribe ${\sqrt{29}}^{2}$ como $29$ .

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Paso 6.3.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{29}$ como $29^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{{(29^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 6.3.2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{29^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 6.3.2.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{29^{\frac{2}{2}}}$

Paso 6.3.2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.2.6.4.1

Cancela el factor común.

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{29^{\frac{2}{2}}}$

Paso 6.3.2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{29^{1}}$

Paso 6.3.2.6.5

Evalúa el exponente.

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{29}$

Paso 7

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x + 0.38050637 = \sin^{-1} (\frac{5 \sqrt{29}}{29})$

Paso 8

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.1

Evalúa $\sin^{-1} (\frac{5 \sqrt{29}}{29})$ .

$x + 0.38050637 = 1.19028994$

Paso 9

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1

Resta $0.38050637$ de ambos lados de la ecuación.

$x = 1.19028994 - 0.38050637$

Paso 9.2

Resta $0.38050637$ de $1.19028994$ .

$x = 0.80978357$

Paso 10

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x + 0.38050637 = (3.14159265) - 1.19028994$

Paso 11

Resuelve $x$

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Paso 11.1

Resta $1.19028994$ de $3.14159265$ .

$x + 0.38050637 = 1.9513027$

Paso 11.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 11.2.1

Resta $0.38050637$ de ambos lados de la ecuación.

$x = 1.9513027 - 0.38050637$

Paso 11.2.2

Resta $0.38050637$ de $1.9513027$ .

$x = 1.57079632$

Paso 12

Obtén el período de $\sin (x + 0.38050637)$ .

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Paso 12.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 12.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 12.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 12.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 13

El período de la función $\sin (x + 0.38050637)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 0.80978357 + 2 π n, 1.57079632 + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$