Matemática discreta Ejemplos

$5 \ln (8 x) = 20 - 2 \ln (x)$

Paso 1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$5 \ln (8 x) + 2 \ln (x) = 20$

Paso 2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Simplifica $5 \ln (8 x) + 2 \ln (x)$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1

Simplifica $5 \ln (8 x)$ al mover $5$ dentro del algoritmo.

$\ln ({(8 x)}^{5}) + 2 \ln (x) = 20$

Paso 2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $8 x$ .

$\ln (8^{5} x^{5}) + 2 \ln (x) = 20$

Paso 2.1.1.3

Eleva $8$ a la potencia de $5$ .

$\ln (32768 x^{5}) + 2 \ln (x) = 20$

Paso 2.1.1.4

Simplifica $2 \ln (x)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\ln (32768 x^{5}) + \ln (x^{2}) = 20$

Paso 2.1.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (32768 x^{5} x^{2}) = 20$

Paso 2.1.3

Multiplica $x^{5}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.3.1

Mueve $x^{2}$ .

$\ln (32768 (x^{2} x^{5})) = 20$

Paso 2.1.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\ln (32768 x^{2 + 5}) = 20$

Paso 2.1.3.3

Suma $2$ y $5$ .

$\ln (32768 x^{7}) = 20$

Paso 3

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (32768 x^{7})} = e^{20}$

Paso 4

Reescribe $\ln (32768 x^{7}) = 20$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{20} = 32768 x^{7}$

Paso 5

Resuelve $x$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $32768 x^{7} = e^{20}$ .

$32768 x^{7} = e^{20}$

Paso 5.2

Divide cada término en $32768 x^{7} = e^{20}$ por $32768$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $32768 x^{7} = e^{20}$ por $32768$ .

$\frac{32768 x^{7}}{32768} = \frac{e^{20}}{32768}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $32768$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{32768 x^{7}}{32768} = \frac{e^{20}}{32768}$

Paso 5.2.2.1.2

Divide $x^{7}$ por $1$ .

$x^{7} = \frac{e^{20}}{32768}$

Paso 5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[7]{\frac{e^{20}}{32768}}$

Paso 5.4

Simplifica $\sqrt[7]{\frac{e^{20}}{32768}}$ .

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Paso 5.4.1

Reescribe $\sqrt[7]{\frac{e^{20}}{32768}}$ como $\frac{\sqrt[7]{e^{20}}}{\sqrt[7]{32768}}$ .

$x = \frac{\sqrt[7]{e^{20}}}{\sqrt[7]{32768}}$

Paso 5.4.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.4.2.1

Reescribe $e^{20}$ como ${(e^{2})}^{7} e^{6}$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Factoriza $e^{14}$ .

$x = \frac{\sqrt[7]{e^{14} e^{6}}}{\sqrt[7]{32768}}$

Paso 5.4.2.1.2

Reescribe $e^{14}$ como ${(e^{2})}^{7}$ .

$x = \frac{\sqrt[7]{{(e^{2})}^{7} e^{6}}}{\sqrt[7]{32768}}$

Paso 5.4.2.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{\sqrt[7]{32768}}$

Paso 5.4.3

Simplifica el denominador.

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Paso 5.4.3.1

Reescribe $32768$ como $4^{7} \cdot 2$ .

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Paso 5.4.3.1.1

Factoriza $16384$ de $32768$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{\sqrt[7]{16384 (2)}}$

Paso 5.4.3.1.2

Reescribe $16384$ como $4^{7}$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{\sqrt[7]{4^{7} \cdot 2}}$

Paso 5.4.3.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{4 \sqrt[7]{2}}$

Paso 5.4.4

Multiplica $\frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{4 \sqrt[7]{2}}$ por $\frac{{\sqrt[7]{2}}^{6}}{{\sqrt[7]{2}}^{6}}$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{4 \sqrt[7]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[7]{2}}^{6}}{{\sqrt[7]{2}}^{6}}$

Paso 5.4.5

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 5.4.5.1

Multiplica $\frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{4 \sqrt[7]{2}}$ por $\frac{{\sqrt[7]{2}}^{6}}{{\sqrt[7]{2}}^{6}}$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 \sqrt[7]{2} {\sqrt[7]{2}}^{6}}$

Paso 5.4.5.2

Mueve $\sqrt[7]{2}$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 (\sqrt[7]{2} {\sqrt[7]{2}}^{6})}$

Paso 5.4.5.3

Eleva $\sqrt[7]{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 ({\sqrt[7]{2}}^{1} {\sqrt[7]{2}}^{6})}$

Paso 5.4.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 {\sqrt[7]{2}}^{1 + 6}}$

Paso 5.4.5.5

Suma $1$ y $6$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 {\sqrt[7]{2}}^{7}}$

Paso 5.4.5.6

Reescribe ${\sqrt[7]{2}}^{7}$ como $2$ .

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Paso 5.4.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[7]{2}$ como $2^{\frac{1}{7}}$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 {(2^{\frac{1}{7}})}^{7}}$

Paso 5.4.5.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 \cdot 2^{\frac{1}{7} \cdot 7}}$

Paso 5.4.5.6.3

Combina $\frac{1}{7}$ y $7$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 \cdot 2^{\frac{7}{7}}}$

Paso 5.4.5.6.4

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 5.4.5.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 \cdot 2^{\frac{7}{7}}}$

Paso 5.4.5.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 \cdot 2^{1}}$

Paso 5.4.5.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 \cdot 2}$

Paso 5.4.6

Simplifica el numerador.

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Paso 5.4.6.1

Reescribe ${\sqrt[7]{2}}^{6}$ como $\sqrt[7]{2^{6}}$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} \sqrt[7]{2^{6}}}{4 \cdot 2}$

Paso 5.4.6.2

Eleva $2$ a la potencia de $6$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} \sqrt[7]{64}}{4 \cdot 2}$

Paso 5.4.6.3

Combina con la regla del producto para radicales.

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{64 e^{6}}}{4 \cdot 2}$

Paso 5.4.7

Multiplica $4$ por $2$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{64 e^{6}}}{8}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{64 e^{6}}}{8}$

Forma decimal:

$x = 3.94254900 \dots$