Matemática discreta Ejemplos

$3 x^{2} + 2 x - 8 < 0$

Paso 1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$3 x^{2} + 2 x - 8 = 0$

Paso 2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 8 = - 24$ y cuya suma es $b = 2$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$3 x^{2} + 2 (x) - 8 = 0$

Paso 2.1.2

Reescribe $2$ como $- 4$ más $6$

$3 x^{2} + (- 4 + 6) x - 8 = 0$

Paso 2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} - 4 x + 6 x - 8 = 0$

Paso 2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(3 x^{2} - 4 x) + 6 x - 8 = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x (3 x - 4) + 2 (3 x - 4) = 0$

Paso 2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x - 4$ .

$(3 x - 4) (x + 2) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 x - 4 = 0$

$x + 2 = 0$

Paso 4

Establece $3 x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $3 x - 4$ igual a $0$ .

$3 x - 4 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $3 x - 4 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 4$

Paso 4.2.2

Divide cada término en $3 x = 4$ por $3$ y simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Divide cada término en $3 x = 4$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Paso 4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Paso 4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Paso 5

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 5.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(3 x - 4) (x + 2) = 0$ verdadera.

$x = \frac{4}{3}, - 2$

Paso 7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 2$

$- 2 < x < \frac{4}{3}$

$x > \frac{4}{3}$

Paso 8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 8.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 8.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$3 {(- 4)}^{2} + 2 (- 4) - 8 < 0$

Paso 8.1.3

$32$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 8.2

Prueba un valor en el intervalo $- 2 < x < \frac{4}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 2 < x < \frac{4}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 8.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$3 {(0)}^{2} + 2 (0) - 8 < 0$

Paso 8.2.3

$- 8$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 8.3

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{4}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{4}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 8.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$3 {(4)}^{2} + 2 (4) - 8 < 0$

Paso 8.3.3

$48$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 8.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < \frac{4}{3}$ Verdadero

$x > \frac{4}{3}$ Falso

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < \frac{4}{3}$ Verdadero

$x > \frac{4}{3}$ Falso

Paso 9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 2 < x < \frac{4}{3}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$- 2 < x < \frac{4}{3}$

Notación de intervalo:

$(- 2, \frac{4}{3})$

Paso 11